7.4.1 二项分布（Word教师用书）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版2019）

7．4　二项分布与超几何分布 课标解读 学法指导 1．通过具体实例，了解伯努利试验． 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 3．通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 1．注意理解在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率公式与二项式定理之间的联系． 2．在利用二项分布解决实际问题的过程中，深化对随机现象的认识，体会特殊分布的应用． 3．学习超几何分布时，重点注意公式中字母N，M和n的范围及其意义. 7.4.1　二项分布 问题导入 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1，2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事． 问题1：试用Ai表示B1. 提示　B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)． 问题2：试求P(B1)． 提示　因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A123，1A23，12A3两两互斥，所以P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22. 问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)． 提示　P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83. 问题4：由以上结果你能得出什么结论？ 提示　P(Bk)＝C×0.8k×0.23－k，k＝0,1,2,3. 微梳理 要点一　n重伯努利试验 1．伯努利试验：把只包含两个__可能结果__的试验叫做伯努利试验． 2．定义：将一个伯努利试验独立地__重复__进行__n次__所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 3．特征：(1)同一个伯努利试验重复做__n次__； (2)各次试验的结果__相互独立__. 思考：定义中“重复”的含义是什么？ 提示　“重复”意味着各次试验成功的概率相同． 要点二　二项分布 1．定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n__.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__X～B(n，p)__. 2．二项分布的均值与方差：若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__. 思考：二项分布与两点分布有何关系？ 提示　两点分布是一种特殊的二项分布，是n＝1时的二项分布；二项分布可以看作两点分布的一般形式． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．(　　) (2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)依次投掷4枚质地不同的骰子，点数1出现2次的试验是4重伯努利试验．(　　) (4)若随机变量X～B(n，p)，则X＝1,2，3，…，n.(　　) 解析　(1)正确．由伯努利试验的相关概念知说法正确． (2)正确．由n重伯努利试验的相关概念可知说法正确． (3)错误．因为骰子的质地不同，点数1出现的概率不同，因此该试验不是4重伯努利试验． (4)错误．X＝0,1,2，…，n. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 类型一　n重伯努利试验的概念 【例题1】 (多选)下列试验不是n重伯努利试验的是(　　) A．依次投掷4枚质地不同的硬币，3次正面向上 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中 C．口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次不放回地从中抽取5个球，恰好抽出4个白球 D．一台加工质量不稳定的机床连续加工出20个零件，其中出现5个次品 答案　ACD 解析　A项，试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验；B项，某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验；C项，每次抽取，试验的结果有三种不同颜色且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验；D项，加工质量不稳定说明次品率不稳定，因此不是n重伯努利试验．故选ACD项． 规律总结　 判断某试验是伯努利试验的依据：①在相同的条件下可以重复进行；②每次试验相互独立、互不影响． 【变式1】 小明和小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷． (1)小明共投掷n次，是否可看作n重伯努利试验？小华共投掷m次，是否可看作m重伯努利试验？ (2)在游戏的全过程中共投掷了m＋n次，则这m＋n次是否可看作m＋n重伯努利试验？ 解析　(1)由伯努利试验的判断条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次投掷互不影响，故小明投掷的n次可看作n重伯努利试