6.1 平方根-【题型分类归纳】2022-2023学年七年级数学下册同步讲与练（人教版）

6.1 平方根 一、算数平方根 1、概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 2、表示方法：a的算术平方根记为，读作”根号a“，a叫做被开方数。也就是，在等式x2=a (a≥0)中，规定x=。 注：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。这个结论对所有正数都成立。 3、算数平方根的性质 若有意义，则被开方数是非负数；算数平方根本身也是非负数。 4、的结果有两种情况 注：①无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数； ②许多正有理数的算术平方根（例如, 5，等）都是无限不循环小数。 5、求一个数的算数平方根 ①利用夹值法估算（无理）数的大小； ②正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零； ③，注意的双重非负性：. 二、平方根 1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。如果x2=a,那么x叫做a的平方根。 （算术平方根的符号,实际上省略了中的根指数2。因此，,也可读作“二次根号a”) 2、表示方法：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用表示。 3、开平方的概念：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。（注：开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义） 4、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 5、平方与开平方互为逆运算 ←→ a是x的平方 x是a的平方根 x的平方是a a的平方根是x 6、解题注意 ①正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； ②正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 题型一 算数平方根概念的理解 【例1】16的算术平方根是（　　） A．8 B．4 C．256 D．4 【变式1-1】实数的算术平方根______. 【变式1-2】面积为7的正方形的边长是（　　） A．7的平方根 B．7的算术平方根 C．7的立方根 D．7的负平方根 【变式1-3】当时，代数式的值为______． 【变式1-4】一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是________． 题型二 利用算数平方根的性质求解 【例2】若是整数，则正整数不可能是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 【变式2-1】当x等于（　　）时，有最（　　）值． A．2，小 B．2，大 C．±2，小 D．±2，大 【变式2-2】已知，则的值是（    ） A．4 B．－2 C．－4 D．2 【变式2-3】已知a、b满足，解关于的方程 题型三 求算数平方根的取值范围 【例3】估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 【变式3-1】， ，则_____． 【变式3-2】写出一个比大且比小的整数是____． 【变式3-3】如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四 与算数平方根有关的规律探索 【例4】，，则的值为（　　） A．13.11 B． C．41.47 D． 【变式4-1】观察下列各式：，，，……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-2】观察分析下列数据，发现其中的规律：0，，，-3，，，，……，则第31个数据是_______． 【变式4-3】解决下列题目： （1）用计算器计算： _____，_____，_____，_____． （2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ （3）试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 题型五 平方根概念的理解 【例5】的平方根是（　　） A． B．2 C． D． 【变式5-1】下列说法正确的是（    ） A．一定是正数 B．的平方根是 C．平方根等于它本身的数是1和0 D．平方根是 【变式5-2】如果有平方根，则的取值范围是_____ 【变式5-3】判断下列说法是否正确 （1）0的平方根是0； （2）负数有1个平方根； （3）平方根是它本身的数是0和1； （4）算术平方根是它本身的数是0和1； （5）正数有2个平方根，它们互为相反数. 题型六 求代数式的平方根 【例6】关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（     ） A．3 B． C． D． 【变式6-1】若，则的平方根为（    ） A．±2 B．4 C．2 D．±4 【变式6-2】已知与互为相反数，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 题型七 已知