专项29 二次函数与直角三角形有关的问题-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项29 二次函数与直角三角形有关的问题 直角三角形的存在性问题 1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点 2. 方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1 （2） 以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解 下面主要介绍2种常用方法： 【方法1 几何法】“两线一圆” （1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角） 如何求得点坐标？以为例：构造三垂直． 【方法2 代数法】点-线-方程 【方法1 勾股定理】 【典例1】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC． （1）求抛物线的解析式； （2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3． （4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴D（﹣1，﹣4）， 设E点坐标为（0，m）， ∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20， 当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2， ∴m2+9+20＝m2+8m+17， 解得m＝， ∴此时点E的坐标为（0，）； 当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2， m2+8m+17+20＝m2+9， 解得m＝﹣， ∴此时点E的坐标为（0，﹣）； 当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2， m2+9+m2+8m+17＝20， 解得m＝﹣1或m＝﹣3， ∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）． 【变式1-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）， ∴3a＝3， ∴a＝1， ∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点为（2，﹣1）； （2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下： ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 设E（2，t）， ∵△BCE是直角三角形， ∴BE⊥CE， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴BC＝3，BE＝，CE＝， ①当BC为斜边时， ∴18＝（）2+（）2， 解得t＝， ∴E点坐标为（2，）或（2，）； ②当BE为斜边时， ∴18+（）2＝（）2， 解得t＝5， ∴E点坐标为（2，5）； ③当CE为斜边时， ∴18+（）2＝（）2， 解得t＝﹣1， ∴E点坐标为（2，﹣1）； 综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1） 【变式1-2】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4； （2）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）； ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形， ∴AN＝NP1＝3， ∴P1（﹣1，3）， 当∠ABP2