专项28 二次函数与等腰三角形有关的问题-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项28 二次函数与等腰三角形有关的问题 等腰三角形的存在性问题 【方法1 几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 注意：若有重合的情况，则需排除． 以点 C1 为例，具体求点坐标： 过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1， 又 类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法． 【方法2 代数法】点-线-方程 表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3）， 表示线段： 联立方程：，， 总结： 【考点1 等腰角形的存在性】 【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） y＝， （2） m＝时，△ADE的面积取得最大值为 （3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2） 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝， （2）y＝的对称轴为x＝﹣1， 设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0）， 可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20， 当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2， 解得，n＝1，此时P（﹣1，1）； 当PA2＝AE2时，9+n2＝20， 解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）； 当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20， 解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）． 综上所述， P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线及直线BC的表达式； （2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称， ∴B（3，0）， 设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3， 设直线BC的解析式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3； （2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3）， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2， ∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形， ∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ， 当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10， 解得：m＝0（舍去）或m＝2， ∴Q（2，1）； 当AC＝CQ时，10＝2m2， 解得：m＝﹣（舍去）或m＝， ∴Q（，3﹣）； 当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2， 解得：m＝， ∴Q（，）； 综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）． 【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+x+2； （2）设抛物线沿x轴负方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位， ∴B点平移对应点M（4﹣2m，m），C的对应点N（﹣2m，2+m）， ∴AM＝，AN＝，MN＝2， ①当MN＝AM时，＝2， 解得m＝2+或m＝2﹣， ∴M（﹣2，2+）