专项27 二次函数与相似三角形有关的问题-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项27 二次函数与相似三角形有关的问题 关函数与相似三角形的问题一般 三个解决途径： (1)求相似三角形的第三个顶点时， 先要分析已知三角形的边和角的特 点，进而得出已知三角形是否为特 殊三角形．根据未知三角形中已知 边与已知三角形的可能对应边分类 讨论； (2)利用已知三角形中对应角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 数来推导边的大小； (3)若两个三角形的各边均未给出， 则应先设所求点的坐标进而用函数 解析式来表示各边的长度，之后利 用相似来列方程求解． 【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①； （2）∵OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况： ①当∠ACB＝∠BOQ时， AB＝4，BC＝3，AC＝， 过点A作AH⊥BC于点H， S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2， 则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2， 则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②， 联立①②并解得：x＝或﹣， 故点Q（，﹣2）或（﹣，2）， ②∠BAC＝∠BOQ时， tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ， 则点Q（n，﹣3n）， 则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③， 联立①③并解得：x＝， 故点Q（，）或（，）； 综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）． 【变式1-1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标． 【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （3）①当△AOC∽△DPA时， ∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°， ∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0， 即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2， ∴点D的坐标为（2，0）； ∵PD⊥x轴， ∴点P的横坐标为2， ∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3， ∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）； ②当△AOC∽△DAP时， 此时∠APG＝∠ACO， 过点A作AG⊥PD于点G， ∴△APG∽△ACO， ∴， 设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3）， 则， 解得：m＝， ∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，）， 综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）． 【变式1-2】（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵A（﹣1，0）， ∴B（3，0）， ∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）， 将C（0，3）代入抛物线的解析式， 则﹣3a＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3． （2）存在，P（0，﹣1），理由如下： ∵∠APB+∠ACB＝180°， ∴∠CAP+∠CBP＝180°， ∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示， 由（1）知，OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠APC＝∠ABC＝45°， ∴△AOP是等腰直角三角形， ∴OP＝OA＝1， ∴P（0，﹣1）． （3）存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3， ∴D（1，4）， 由抛物线的对称性可知，E（2，3）， ∵A（﹣1，0）， ∴AD＝2，DE＝，A