重难点08 导数的综合应用-2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）

重难点08 导数的综合应用 一、利用导数证明不等式 主要考查利用导数证明不等式问题，题目以解答题形式出现，属于压轴题，难度较大. 证明不等式. 用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)，对于减函数有类似结论． (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)． (3)证明f(x)＜g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)＜0. 一、解答题 1．已知． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答. （2）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答. 【解析】（1）函数定义域为，依题意，，成立， 即，成立，而当时，，因此， 而时，不是常数函数，于是得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，，因有两个极值点，则，即有两不等正根， 于是得，有， ， ，令，， ，显然函数在上单调递增，而， 因此，使得，即，当时，，当时，， 于是得在上单调递减，在上单调递增，， 显然在上单调递增，则，因此，即有， 所以. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理，本题的关键点在于转化成新函数的最值问题后，需要通过隐零点代换，进而求出函数的最值，使问题得到解决. 2．设为的导函数，若是定义域为D的增函数，则称为D上的“凹函数”，已知函数为R上的凹函数． (1)求a的取值范围； (2)设函数，证明：当时，，当时，． (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)对函数求三次导数，根据导函数的正负和题干条件进行求解即可； (2)对函数两次求导，判断导数与零的大小关系，进而确定； (3)由（2）可知：，将不等式进行等价转化为，再结合（1）即可证明. 【解析】（1）解，设为的导函数， 则． 设，则． 当时，；当时，． 所以在上是减函数，在上增函数． 所以． 因为为R上的凹函数，所以， 解得，故a的取值范围是． （2）证明，的导函数． 若，则，若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，则，为增函数． 又，所以当时，，当时，． （3）证明：由（2）知， 即， 所以． 由（1）知，，因为， 所以， 所以， 故． 3．已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)记，存在满足，证明： ①存在唯一极小值点； ②. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）求得以及，结合导数的几何意义，直接写出切线方程即可； （2）①对参数分类讨论，且当时，构造函数，根据其与的交点个数，从而判断有且仅有一个根，即可证明； ②根据已知条件，构造函数，从而对已知条件进行放缩后只需证明，令，再次构造函数，即可通过，证明所证不等式. 【解析】（1）当时， ，故切线方程为：， 即. （2） ①当 故恒成立，在上递减，不满足且这一条件； 当时，存在 ， ， 下证有且仅有一根. 只有一个交点. 恒成立，故在上递减， 仅有唯一交点. 此时存在满足， 且当 ， ， 故存在唯一极小值点. ②由题意知， ， 令 单调递增， ， ， 欲证，即证， 只需证：成立， 两边同除，令 即证， 设 综上：成立，即成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值点问题，以及证明不等式；其中第二问处理的关键是构造函数进行适度的放缩，以及在证明时，令，使得双变量问题转化为单变量问题进行处理，属综合困难题. 4．已知函数（）. (1)，求证：； (2)证明：.() 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先证，令，利用导数判断函数单调性，即可证明；再证，令，利用其导数判断其单调性即可证明； （2）l利用（1）的结论，可得，从而将原不等式转化为，继而转化为证，即证；由此构造函数，利用其导数判断单调性即可证明. 【解析】（1）先证，令，此时，故， 所以在上单调递增， 所以，即. 再证， 令，， ，在上单调递增， 故，即， 综合以上可得时，； （2）由（1）可知， ， 要证，只需证， 即证，即证； ， 要证，即证 令，则， 在上单调递增，，， 所以在区间上存在零点，则时，，时，， 故在上单调递减，上单调递增， 而，， 由于 ，,故， 故， 所以时，， 故当时，成立，当