第28章　锐角三角函数-复习讲义　2022—2023学年人教版数学九年级下册

锐角三角函数 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 要点诠释： 　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． 　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． 　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． 　　(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 1、 锐角的正弦（对边比斜边） 1、 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 ， sinA= =。 2、 （2017中山），如图，若点A的坐标（1，），则sin∠1= 3、 （2019西岗区）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=4,则sinA的值是 4、 如图，AB是⊙O的直径，点C,D都在⊙O上，且AB=5,BC=3，那么sin∠BAC= ， sin∠ADC= 5、 在Rt△ABC中，若各边长都扩大3倍，则锐角A的正弦值（ ） A不变， B扩大3倍，C缩小原来的1/3， D不确定 6、 若直角三角形两边长分别是6和8，则该三角形中较小的锐角三角函数的正弦值为 7、 在Rt△ABC，∠C=90°，若sinA=，则sinB= 8、 如图，AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高，BE=4，BC=6，sin∠DAC= 9、 在Rt△ABC中，∠ACB-90°，D是AB的中点，BE⊥CD,垂足为E，AC=15，sinA=0.8, （1） 求线段CD的长 （2） 求sin∠DBE的值 2、 余弦和正切 1、 余弦是邻边/斜边 2、 正切是对边/邻边 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA= 4、在平面直角坐标系中，点P在第四象限内，且OP与x轴的正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是 5、 （2021甘井子区）在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=4，BC=3，则tanA的值为 6、如图，在Rt△ABC中，CD是AB边上的中线，若CD=5，AC=6,则tanB的值 7、 （2021高新园区）在△ABC中∠C=90°，AB=6，若cosA=，则AC的长为 8、 （2017甘井子区）Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，AB=10，则tanA= 9、 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5. （1） 求AB的长 （2） 求sinA,cosA，tanA，sinB，cosB，tanB的值 3、 特殊的锐角三角函数 锐角α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 练习 1、6tan45°-2cos60°的结果是 2、计算cos30°的值是 3、 计算 （1）（2020西岗区）3tan30°-tan45°+2sin60° （2）（2020西岗区）-（π-1）0-2cos45°+（）-1 （3）（2021西岗区）（-）-2+4cos²30°-|1-tan60°|+（2π+1）0 4、 （2017金普新区）一直∠B为锐角，且sinB=，则∠B的度