6.3.1 二项式定理-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.1　二项式定理 目标素养 课程目标 核心素养 1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； 2.会应用二项式定理求解二项展开式； 3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力. 1.数学抽象：二项式定理 2.逻辑推理：运用组合推导二项式定理 3.数学运算：运用二项式定理解决问题 4.数学建模： 在具体情境中运用二项式定理 概念梳理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 C(k＝0,1,2，…，n) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk 特别地 (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn 2.二项展开式的特点 (1)展开式共有n＋1项。 (2)各项中a，b的次数和都等于二项式的幂指数n。 (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n。 【概念辨析】 1. 二项展开式中的项Can－rbr是(a＋b)n展开式的第r＋1项。 2. (a＋b)n的展开式的第k＋1项是Can－kbk，(b＋a)n的展开式的第k＋1项是Cbn－kak。 3. 二项式系数与系数不是一回事。例如(1＋3x)n的二项式系数为C(r＝0,1,2，…，n)，而系数为C3r(r＝0,1,2,3，…，n)。正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. Ca7b3是(a＋b)10展开式中的第3项．(　×　) 【解析】错误，Ca7b3是(a＋b)10展开式中的第4项. 2. (x－1)5的展开式中x4项的系数为－5.(　 √　) 【解析】正确，(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5. 3. (x＋2)n的展开式中的第3项的系数是C.(　×　) 【解析】错误，(x＋2)n展开式中的第3项的系数是4C. 初试身手 1. (x＋2)8的展开式中x6的系数是(　　) A．28 B．56 C．112 D．224 【解析】由T2＋1＝Cx8－2·22＝112x6，所以(x＋2)8的展开式中x6的系数是112。故选C。 2. (1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为(　　) A．210 B．－210 C．－120i D．－210i 【解析】T7＝C·(－i)6＝－C＝－210。故选B。 3. 4展开式中的常数项为(　　) A．24 B．12 C．8 D．6 【解析】4展开式的通项为Tr＋1＝Cx4－r·r＝(－2)rCx4－2r，当4－2r＝0时，r＝2，展开式的常数项为T3＝4C＝24。故选A。 4. n展开式中的常数项是70，则n＝________。 【解析】因为n＝n＝2n，所以Tk＋1＝C·(－1)kx2n－2k，又因为展开式的常数项为70，令2n－2k＝0得，k＝n，所以C(－1)n＝70，又C＝70，所以n＝4。 5. 求(1＋x)4的展开式中含x2的项的系数。 【解析】根据乘法公式得，因式1＋中的1和(1＋x)4的展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；因式1＋中的和(1＋x)4的展开式中含x3的项相乘可得含x2的项。(1＋x)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0,1，…，4)，故(1＋x)4的展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2的项的系数为10。题型讲解 探究（一）二项式定理的运用 【典例1】(1)求4的展开式． (2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 【解析】（1）方法一　4＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. （2）原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 【补充训练1】化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得(　　) A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x5 【解析】原式＝[(x－1)＋1]4＝x4。故选A。 【补充训练2】若(1＋)4＝a＋b×(a，b为有理数)，则a＋b＝_____