6.2.4 组合数-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.4组合数 目标素养 课程目标 核心素养 1.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中. 2.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力. 1.数学抽象：组合数的概念 2.逻辑推理：组合数公式的推导 3.数学运算：组合数的计算及性质 4.数学建模：运用组合解决计数问题 概念梳理 1．组合数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示。 2．组合数公式与性质 (1)组合数公式 组合数公式 乘积形式 C＝＝，其中 m，n∈N*，并且m≤n 阶乘形式 C＝ 规定：C＝1。 (2)组合数的性质 性质1：C＝C。 性质2：C＝C＋C。 3．常见的两类组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。 4．组合应用题的解法 (1)无限制条件的组合应用题的解法步骤：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答。 (2)有限制条件的组合应用题的解法。 常用解法有：直接法、间接法。可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类。 【概念辨析】 1. “组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个正整数；而一个“组合”是指具体的一件事。 2. 对于组合数的第一个公式C＝＝，它体现了组合数与相应排列数的关系，当n确定而m变化时，组合数与m是一种函数关系，一般在计算具体的组合数时，常用此公式。 第二个公式C＝的主要作用有：当m，n较大时，利用此公式计算组合数较为简便；对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式。 3. 组合数的两个性质的作用：第一个性质中，若m>，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用。正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. 由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．(　×　) 【解析】错误，C是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故C一定是正整数． 2. 把三张游园票分给10个人中的3人，分法有CA种 (　×　) 【解析】错误，三张票没区别，从10人中选3人即可，即C. 3. 使不等式C≥C(n∈N*)成立的n的取值只有5(　×　) 【解析】错误，在C中，n∈N*，且n≥2，在C中，n∈N*，n≥3，即有n∈N*，n≥3，因为C≥C，则有≥，即n－2≤3，解得n≤5，因此有3≤n≤5，n∈N*，所以n的取值可以是3或4或5. 4. 若C－C＝C，则n=14 (　√　) 【解析】正确，C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，n＝14. 初试身手 1. 若A＝3C，则n的值为(　　) A．7　　　　 B．6 C．5　　　　 D．4 【解析】因为A＝3C，所以n(n－1)＝，解得n＝6，故选B。 2. C＋C的值为(　　) A．72　　　 B．42 C．36　　　 D．30 【解析】C＋C＝C＋C＝＋＝15＋21＝36。故选C。 3. 若集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的子集中含有4个元素的子集共有________个。 【解析】满足要求的子集中含有4个元素，由集合中元素的无序性，知其子集个数为C＝5。 4. 随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起。李华为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束。客服为佳佳提供了两个系列，如下表： 粉色系列 黄色系列 玫瑰 戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山 假日公主、金辉、金香玉 康乃馨 粉色、小桃红、白色粉边 火焰、金毛、黄色 配叶 红竹蕉、情人草、满天星 散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊 李华要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束。则佳佳可定制的混合花束一共有________种。 【解析】若选粉色系列有C×C×C种选法，若选黄色系列有C×C×C种选法，李华可定制的混合花束一共有C×C×C＋C×C×C＝54＋54＝108种。 5. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则共有多