6.2.2 排列数-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.2 排列数 目标素养 课程目标 核心素养 1.能利用计数原理推导排列数公式。. 2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 1.数学抽象：排列数公式的推导过程 2.逻辑推理：排列数的性质 3.数学运算：运用排列数解决计数问题 4.数学建模：将计数问题转化为排列问题 概念梳理 1．排列数的定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号表示。 2．排列数公式及全排列 (1)排列数公式的两种形式 ①＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中 m，n∈N*，并且 m≤n。 ②＝ 。 (2)全排列：把 n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，全排列数公式为＝ (叫做 n 的阶乘)。规定：＝1。 3．解决排列问题的一般方法 对于有限制条件的排列问题，先考虑安排特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法为直接分步法；也可以按特殊元素当选情况(或特殊位置元素的情况)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法为直接分类法；还可以先不考虑特殊元素(或位置)，而求出所有元素的排列数，再从中减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法为间接法(排除法)。 【概念辨析】 1：(1)公式＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程或不等式。在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续写出 m 个数的乘积。 (2)公式＝，适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题。在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n 且 m∈，n∈” 的运用。因此求出方程或不等式的解后要进行检验，把不符合的解舍去。 (3)0！＝1，这是一个规定，不能按阶乘的定义解释。 正误辨析 判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.在式子中，m，n 的值都可以为 0.(×) 【解析】m，n∈，且m≤n. 2.甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有 4 种.(×) 【解析】由排列的定义，有＝3×2×1＝6(种)排列方法. 3. 若＝9×10×11×12，则 m＝4.(√) 【解析】由＝n(n－1)…(n－m＋1)可知说法正确。 4. 排列数与排列是不同的概念.(√) 【解析】排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从 n 个不同元素中取出 m 个元素按照一定的顺序排成一列，是一种排法；“排列数”是指从 n 个不同元素中取出 m 个元素所得不同排列的个数，是一个数，用表示。 初试身手 1. 等于( ) A．12 B．24 C．30 D．36 【解析】==36. 故选D。 2. 6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( ) A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 【解析】第一步：排甲，共有种不同的排法；第二步：排其他人，共有种不同的排法，因此不同的演讲次序共有＝480(种)。故选C。 3. 甲、乙等5人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有( ) A．24种 B．48种 C．72种 D．120种 【解析】由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为×＝48种。故选B。 4. A，B，C，D，E，F共6名同学和1名数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A，B和C，D同学分别穿着白色和黑色文化衫，E和F分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为________。 【解析】共有7个位置，老师站中间，两边各三个位置，两位穿白色文化衫的同学不站老师两边，且他俩不能相邻，所以他俩有2×2×＝8种站法，其他没有限制，所以共有8×＝192种站法。 5. 3张卡片正、反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，则可以得到多少个不同的三位数？ 【解析】“组成三位数”这件事，分两步完成： 第一步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列有个。 第二步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种选法。 根据分步乘法计数原理，可以得到×2×2×2＝48个不同的三位数。 题型讲解 探究（一）排列数公式的应用 【典例1】证明: 【证明】因为 ===，所以 . 【补充训练1】4×5×6×…×(n－1)n 等于( ) A． B． C．(n－4)! D．