6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(第2课时)-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(第2课时) 目标素养 课程目标 核心素养 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理； 2.能应用两个计数原理解决实际问题. 1.数学抽象：两个计数原理 2.逻辑推理：运用分类思想解决复杂问题 3.数学运算：运用计数原理解决计数问题 4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题 概念梳理 1．利用分类加法计数原理解题的思路方法及注意事项 在用分类加法计数原理解题时，首先要明确问题中要完成的“一件事”指的是什么，同时要确定一个恰当的分类标准进行分类；其次，在分类时要注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且属于不同类的两种方法是不同的方法，即分类时要遵循“不重不漏，一步完成”的原则。有时各个类别的方法用列举法逐一列出更加清楚，列举时可一一列举，也可列表列举或画树状图列举，一一列举时要注意按一定的顺序才能不重不漏。 2.利用分步乘法计数原理解题的思路方法及注意事项 (1)运用分步乘法计数原理解题时，首先应根据题意确定一个合理的分步标准，然后分别计算每一步的方法数，最后利用分步乘法计数原理求出完成这件事的方法总数。 (2)在分步中，每步之间必须连续，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成，且每步之间既不能重复也不能遗漏。 3．综合应用两个计数原理解题的思路方法 对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要先设计好分类标准，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题。 【概念辨析】 1: 含有特殊元素的计数问题一般采用特殊元素优先，一般元素在后，含特殊元素的计数问题要优先考虑特殊元素；间接法：先不考虑特殊元素进行计数，再减去不符合条件的特殊情形。 正误辨析 判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.分类计数是指将完成这件事的所有方式进行分类，每一类都能独立完成该事 件.(√) 2.计数时，若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，使用间接法会简单一些.(√) 3.分步计数是指将完成这件事分解成若干步骤，当完成所有的步骤时，这个事件才算完成.(√) 4.当一个事件既需要分步又需要分类时，分步和分类没有先后之分.(×) 【解析】当一个事件既需要分步又需要分类时，通常要明确是先分类后分步还是先分步后分类，并且要明确分类的标准和分步的程序问题。 初试身手 1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( ) A．30 B．20 C．10 D．6 【解析】从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法。故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6(种)取法。故选D。 2. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有( ) A．10种 B．16种 C．25种 D．32种 【解析】走法共分四步，一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共有24＝16(种)。故选B。 3. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)。若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有( ) A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 【解析】按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法。因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况。故选D。 4. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有________种。 【解析】设四棱锥为PABCD。当A，C颜色相同时，先染P有4种方法，再染A，C有3种方法，然后染B有2种方法，最后染D也有2种方法，根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2＝48(种)方法；当A，C颜色不相同时，先染P有4种方法，再染A有3种方法，然后染C有2种方法，最后染B，D都有1种方法，根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×1×1＝24(种)方法。综上，共有48＋24＝72(种)方法。 5. 若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有多少条？ 【解析】分两类完成。第一类