6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(第1课时)-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(第1课时) 目标素养 课程目标 核心素养 1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理; 2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 1.数学抽象：两个计数原理 2.逻辑推理：准确运用两个计数原理解决问题 3.数学运算：运用计数原理解决计数问题 4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题 概念梳理 1.两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法。这一原理被称为分类加法计数原理。 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法。这一原理被称为分步乘法计数原理。 2.两个计数原理的区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重 复，也不能遗漏 区别二 每类方法都能独立完成这件事。它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就能完成 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任 何一步也不可，只有各步骤都完成了才能 完成这件事 【概念辨析】 1：分类加法计数原理推广到一般情况，如果完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，…，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。 2：分步乘法计数原理推广到一般情况，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，…，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。 3：在分类加法计数原理中，每一类中的每一种方法能独立完成这件事。 4：分类加法计数原理每一类中的方法可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情。 正误辨析 判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.两个计数原理可以分别推广到含有“n 类方案”和“n 个步骤”的情况. ( √ ) 【解析】类似于数的加法和乘法. 2.从甲地经丙地到乙地是分步问题. ( √ ) 【解析】分甲地到丙地,丙地到乙地两步. 3. 从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.( √ ) 【解析】按取得的书是哪一种进行分类. 4. 在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同. ( × ) 【解析】在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的,若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法. 初试身手 1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( ) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法。所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法。故选B。 2. 设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2}，则P⊗Q中元素的个数是( ) A．4 B．9 C．6 D．3 【解析】因为P＝{0,1,2}，Q＝{1,2}，所以a有3种选法，b有2种选法，根据分步乘法计数原理，可得P⊗Q中元素的个数为3×2＝6。故选C。 3. 用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的两位偶数。 【解析】能组成12,32两个没有重复数字的两位偶数。 4. 一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法。 【解析】共有6×8＝48种不同取法。 5. 5名学生从4项体育项目中选择参赛，(1)若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？ (2)若5名学生争夺4项比赛的冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有几种不同情况(没有并列冠军)? 【解析】(1)每名学生都可从4项体育项目中任选1项，有4种选法，故5名学生不同的参赛方法有4×4×4×4×4＝45(种)。 (2)每个冠军皆有可能被5名学生中任1名获得，则冠军获得者的不同情况有5×5×5×5＝54(种)。 题型