7.5.2离散型随机变量的综合应用学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 离散型随机变量的综合应用 重点 1. 会求离散型随机变量的分布列及数学期望； 2. 掌握几种常见的离散型随机变量分布模型。 难点 求离散型随机变量的分布列。 考试要求 考试 · 题型 解答 · 难度 中等 核心知识点一：离散型随机变量及其分布列与性质 1. 定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i＝1，2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列。 2. 离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0（i＝1，2，…，n）； ②p1＋p2＋…＋pn＝1。 核心知识点二：常见离散型随机变量的分布列 1. 两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P（X＝1）称为成功概率。 2. 超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 （k＝0，1，2，…，m），其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布。 X 0 1 … m P … 3. 独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai（i＝1，2，…，n）是第i次试验结果，则 （2）二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则（k＝0，1，2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率。 4. 正态分布 （1）正态分布的定义及表示 一般地，如果随机变量X落在区间［a，b］内的概率，总是等于对应的正态曲线与x轴在区间［a，b］内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N（μ，σ2），此时称为X的概率密度函数。μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差。 函数φμ，σ（x）＝，x∈R的图象（正态曲线）关于直线x＝μ对称，在x＝μ处达到峰值。 （2）正态总体三个基本概率值 ①P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0. 682 6； ②P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0. 954 4； ③P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）＝0. 997 4。 核心知识点三：离散型随机变量的均值与方差 1. 若离散型随机变量X的分布列为P（ξ＝xi）＝pi，（i＝1，2，…，n）。 （1）均值：称 为随机变量X的均值或数学期望。 （2）方差：称为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差。 2. 均值与方差的性质 （1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b（a，b为实数）。 （2）D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为实数）。 3. 两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量X服从两点分布 E（X）＝p D（X）＝p（1－p） X～B（n，p） E（X）＝np D（X）＝np（1－p） 类型一：离散型随机变量的分布列及期望 例题1 某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元。某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张。 （1）设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列； （2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望。 【思路分析】（1）利用二项分布的概率公式求解X=0，1，2，3，4的概率；（2）由题意可知，根据二项分布的期望性质计算。 【解析】（1）由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此。 ∴；；； ；，其分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）∵，∴（元）。 又由题意可得， ∴。 即所求变量Y的数学期望味道2100元。 【总结提升】1. 求随机变量的分布列的主要步骤： （1）明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格。 2. 求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。 类型二：超几何分布 例题2 PM2. 5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2. 5微米的可入肺颗粒物。根据现行国家标准GB3095－2012，PM2. 5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。 从某自然