7.5.1正态分布学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 正态分布 重点 正态曲线的概念、特点及随机变量在某一区间范围内的概率求法 难点 正态分布的概念及根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率 考试要求 考试 · 题型 选择　填空　解答 · 难度 简单　中等 核心知识点一：正态曲线及性质 1. 正态曲线的定义 函数φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞）（其中实数μ和σ（σ＞0）为参数）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 2. 正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定： σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 核心知识点二：正态分布 （1）正态分布的定义及表示： 一般地，如果随机变量X落在区间［a，b］内的概率，总是等于对应的正态曲线与X轴在区间［a，b］内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N（μ，σ2），此时称为X的概率密度函数。μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差。 （2）标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布. 特别地：正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，，正态变量在内的取值的概率为，能结合图形进行理解其概率的意义。 类型一：正态曲线的性质 例题1 （1）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0. 8，则P（0<ξ<2）＝（　　） A. 0. 6 B. 0. 4 C. 0. 3 D. 0. 2 （2）某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102），已知P（90≤ξ≤100）＝0. 3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________。 【答案】（1）C　（2）10 【思路分析】 利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，解题的关键是利用对称轴x= μ确定所求概率对应的随机变量取值区间与已知概率对应的随机变量取值区间的关系，必要时，可借助图形求解。 【解析】（1）画出正态曲线如图，结合图象知： P（ξ<0）＝P（ξ>4）＝1－P（ξ<4）＝1－0. 8＝0. 2，P（0<ξ<2）＝P（0<ξ<4）＝ [1－P（ξ<0）－P（ξ>4）]＝（1－0. 2－0. 2）＝0. 3。 （2）由题意，知P（ξ>110）＝＝0. 2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0. 2×50＝10。 【总结提升】利用正态曲线的对称性求概率是高考考查的重点。解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断。 对于正态分布N（μ，σ2），由x＝μ是正态曲线的对称轴知： （1）对任意的a，有P（X<μ－a）＝P（X>μ＋a）； （2）P（X<x0）＝1－P（X≥x0）； （3）P（a<X<b）＝P（X<b）－P（X≤a）。 类型二：正态分布 例题2 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市10万名男生的身高服从正态分布。现从某学校高中男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和190cm之间，将身高的测量结果按如下方式分成5组：第1组[160，166），第2组[166，172），...，第5组[184，190]。下表是按上述分组方法得到的频率分布表： 分组 [160，166） [166，172） [172，178） [178，184） [184，190] 人数 3 10 24 10 3 这50个数据的平均数和方差分别比10万个数据的平均数和方差多1和6. 68，且这50个数据的方差为。（同组中的身高数据用该组区间的中点值作代表）： （1）求，； （2）给出正态分布的数据：，。 若从这10万名学生中随机抽取1名，求该学生身高在（169，179）的概率。 【思路分析】在实际问题中进行概率计算时，需要结合图形研究概率，进行计算。 【解析】（1）根据频率分布表中的数据可以得出这50个数据的平均数为 所以， 又=31. 68， 所以。 （2）由题意可知（169，179）=（，）， 所以该学生身高在（169，179）的概率为p=0. 6826 。 【总结提升】 在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是确定正态分布的两个重要参数μ和σ，然后确定三个区间（范围）， ，，与所求区间的关系，再与已知概率进行联系求解。 常见易错问题剖析 关于正态分布，下列说法正