7.4.1独立重复试验与二项分布学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 独立重复试验与二项分布 重点 1. 理解n次独立重复试验模型及意义； 2. 理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题； 3. 掌握独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法。 难点 利用独立重复试验中事件的概率及二项分布解决简单的实际问题。 考试要求 考试 · 题型 填空 解答题 · 难度 中档 核心知识点一：n次独立重复试验 1. 定义： 一般地，在相同的条件下重复地做n次试验，且各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验。 2. 独立重复试验的条件： （1）每次试验在同样的条件下进行； （2）每次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生； （3）每次试验中，某事件发生的概率是相同的； （4）各次试验之间相互独立。 特别地： （1）独立重复试验，是在相同条件下各次之间相互独立地进行的一种试验（即各次试验的结果不会受到其他试验结果的影响）； （2）每次试验只有“发生"或“不发生"两种可能结果；每次试验“发生"的概率为p，“不发生”的概率为1-p。 核心知识点二：二项分布 1. 独立重复试验的概率公式： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率。 2. 二项分布的均值、方差 若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）。 特别地：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： （1）对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一； （2）重复性，即试验独立重复地进行了n次； （3）随机变量X是事件发生的次数。 类型一：独立重复试验概率公式应用 例题1 甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【思路分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率。 【解析】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”， 若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，若前两局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为， 故选C。 【总结提升】 1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式。 2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便。 类型二：离散型随机变量的二项分布 例题2 贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评。假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为。某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众。 （1）若这4名观众2男2女，求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率； （2）若这4名观众都是男性，设X表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求X的分布列与数学期望。 【思路分析】（1）设X表示2名女性观众中认为好看的人数，Y表示2名男性观众中认为好看的人数，设事件A表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，，利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出； （2）由题意知，利用二项分布的性质求解即可。 【解析】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，。 （1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，， 。 （2）X的可能取值为0，1，2，3，4，X服从二项分布， ∴；； ；； ， ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ∴。 【总结提升】 1. 首先判定这是独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量服从二项分布，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。 2. 注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。 3. 熟记二项分布的期望，方差公式。 常见易错问题剖析 某射击运动员每次击中目标的概率是，在某次训练中，他只有4发子弹，并向某一目标射击，若他击中目标或子弹打光就停止射击，求消耗的子弹数的分布列。 【错解】的可能取值是1，2，3，4。 1 2 3 4 0. 0036 0. 0486 0. 0