7.1.2 乘法公式和全概率公式学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 乘法公式和全概率公式 重点 1. 掌握乘法公式和全概率公式的内容。 难点 2. 能够应用乘法公式和全概率公式进行计算。 考试要求 考试 · 题型 选择题 填空题 · 难度 中等 核心知识点一：乘法公式 由条件概率的计算公式 可知， 若，则； 若，则 这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率。一般地，这个结论称为乘法公式。 推广：（1） （2） 核心知识点二：全概率公式 一般地，如果样本空间为，而A，B为事件，则BA和是互斥的，且，从而，当，由乘法公式得到。这个公式称为全概率公式。 说明：利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果。 核心知识点三：贝叶斯公式 在全概率公式的假定下，有 该公式于1763前由贝叶斯给出。它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率。 类型一：乘法公式的应用 例题1 （1）已知，，则________。 （2）某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破第二次落下打破的概率是，若前两次未打破，第三次落下打破的概率是，试求透镜落下三次未打破的概率。 【思路分析】（1）通过题目分析，直接利用乘法公式以及补充公式进行计算；（2）根据题意设出事件，根据三项乘法公式进行计算。 【解析】 （1），。 （2） B= {透镜落下三次未打破}，则。 【总结提升】对于应用题的概率问题，准确分析概率模型，提高解题的正确率。经分析使用乘法公式，直接利用公式进行计算。 类型二：　全概率公式与贝叶斯公式的应用 例题2 （1）已知P（A）=0. 5，P（B|A）=0. 3，，求P（B）的值。 （2）市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%、20%、50%，且三家工厂产品的次品率分别为3%，3%，1%。 ①试求市场上该品牌产品的次品率； ②如果买了一件该商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少？ 【解析】（1） 故P（B）的值为0. 35。 （2）①设A：买到一件次品；B1，B2，B3分别表示买到一件甲厂、乙厂、丙厂的产品； 即市场上该品牌产品的次品率为2%。 （2）， ， 。 所以这件商品最有可能是甲厂生产的。 即抽到的次品是甲厂生产的概率为0. 4。 【总结提升】全概率公式可看成“由原因推结果”，而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”：现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中，到底是哪一个导致了这一结果？故贝叶斯公式也成为“逆概率公式”。 常见易错问题剖析 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率为__________。 【错解】 设A表示“其中1张是假钞”；B表示“2张都是假钞”，则 。（条件概率的公式应用错误） 【错因分析】错解中没弄清是在什么条件下发生的事件，将条件概率的条件找错；事实上本题“2张都是假钞”的前提条件是“至少有1张是假钞”，而不是“有1张假钞”。 【正解】 若A表示“抽到的两张都为假钞”；B表示“抽到的两张中至少有1张为假钞”，则所求概率为。又， 所以。（在抽到的两张中至少有1张为假钞的前提下，抽到的两张都为假钞的概率） 复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性，得到最终结果，这一方法的一般化就是全概率公式 （答题时间：40分钟） 一、选择题 1. 已知P（A）=0. 3，P（B|A）=0. 2，则P（BA）=（　　） A. 0. 02 B. 0. 04 C. 0. 06 D. 0. 30 2. 已知P（A）=0. 6，P（B|A）=0. 4，=0. 3，则P（B）=（　　） A. 0. 36 B. 0. 24 C. 0. 18 D. 0. 30 3. 今有3箱货物，其中甲厂生产的有2箱，乙厂生产的有1箱。已知甲厂生产的每箱中装有98个合格品，不合格品有2个;而乙厂生产的每箱中装有90个合格品，不合格品有10个。现在3箱中任取1箱，从这一箱中任取1件产品，问这件产品是甲厂生产的合格品的概率是 。 A. B. C. D. 二、填空题 4. 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为____________。 5. 小王忘