5.1.1任意角 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1 任意角 第五章 §5.1 任意角和弧度制 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性。 课程标准 学习目标 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角 所组成的集合.(重点) 3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.(难点) 引入 引语:现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律,这种规律称为周期性. 例如: 地球自转 地球与太阳公转 月亮圆缺 潮汐变化 运动员的翻滚动作也可以看做周期运动,视频中出现了那些角? 开场直体720°,后直540°接前团1080°,360°成翻滚…… 旋转方向和旋转量 刻画这些角的关键是什么? 从这个实例可以看出0°~360°的角度已经不在适用,需要进行扩充 类比实数的学习,角的范围我们可以怎样扩充? 分类:角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合) 记法:图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB” 1、任意角 2、角的运算 类似于实数a的相反数是 -a,我们引入任意角α的相反角的概念. 1、相等的两个角如何规定? 3、类比相反数,怎么定义相反角?角的减法也可以变成加法吗 2、两角相加又如何规定的? 类比实数的运算,思考下列问题 ①相等角:旋转方向相同,旋转量相同 ②角的加法: O B A C ③相反角:旋转方向相反,旋转量相同 C O B A 50°-80°= 50°+(-80°) ④ (减法变加法) LOGO 8 例一:如图,射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处,再按顺时针方向旋转820°至OC处,则β= . ∠AOC=60°+(-820°)=-760°, β=-760°+720°=-40°. 为了进一步研究角,我们需要在直角坐标系内讨论角 3.象限角 角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合. 如果角的终边落在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限. y x O 角的终边 角的始边 角的终边落在第几象限就是第几象限角 轴线角 x y o 始边 终边 终边 终边 终边 LOGO 10 (1)锐角是第一象限角,钝角是第二象限角,直角的终边在坐标轴上,它不属于任何一个象限; (2)每一个象限都有正角和负角,无法比较哪一个象限角的大小. 注意点: 例二: (多选)下列结论正确的有 A.-75°是第一象限角 B.225°是第三象限角 C.475°是第二象限角 D.-315°是第四象限角 √ √ 因为-90°<-75°<0°,所以-75°是第四象限角;因为180°<225°<270°,所以225°是第三象限角;因为360°+90°<475°<360°+180°,所以475°是第二象限角;因为-360°<-315°<-270°,所以-315°是第一象限角.所以B,C正确. 思考 给定一个角,它的终边是否唯一?若两角的终边相同,那么这两个角相等吗? 提示 给定一个角,它的终边唯一;两角终边相同,这两个角不一定相等,比如-30°角的终边和-390°角的终边相同,它们正好相差了360°. {β︱β= -30°+ k·360°,k∈Z} 归纳: 与 -30°角终边相同的角 4.终边相同的角 用集合表示终边与45o相同的角 LOGO 14 轴线角 终边与x轴负半轴重合的角 终边与y轴正半轴重合的角 终边与y轴负半轴重合的角 终边与x轴正半轴重合的角 终边与x轴重合的角 终边与y轴重合的角 LOGO 15 例三 : 在与2 110°角终边相同的角中,求满足下列条件的角β. (1)最大的负角; 与2 110°终边相同的角的集合为{β|β=2 110°+k·360°,k∈Z}, 由-360°<2 110°+k·360°<0°,k∈Z, 得-2 470°<k·360°<-2 110°,k∈Z, 解得k=-6,故所求的最大负角为β=-50°. (2)最小的正角; 由0°<2 110°+k·360°<360°,k∈Z, 得-2 110°<k·360°<-1 750°,k∈Z, 解得k=-5,故所求的最小正角为β=310°. (3)在360°~720°范围内的角. 由360°≤2 110°+k·360°≤720°,k∈Z, 得-1 750°≤k·360°≤-1 390°,k∈Z, 解得k=-4,故所求的角为β=670°. 45O 1、用集合表示终边与45o相同的角 2、用集合表示终边落在阴影部分的角 5.区间角 先定边界,再定周期 LOGO 18 例四: 1、已知角α的终边在图中阴影部分内,试指出角α的取值范围. 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1=