专题05 特殊平行四边形的性质与判定重难点题型专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 特殊平行四边形的性质与判定重难点题型专训 【题型目录】 题型一 矩形的性质与判定重难点题型 题型二 菱形的性质与判定重难点题型 题型三 正方形的性质与判定重难点题型 题型四 特殊平行四边形中长度问题 题型五 特殊平行四边形中角度问题 题型六 利用特殊平行四边形的性质求面积 题型七 中点四边形 题型八 特殊平行四边形的动点问题 题型九 四边形中的线段最值问题 题型十 特殊平行四边形中的折叠问题 题型十一 四边形其他综合问题 【经典例题一 矩形的性质与判定重难点题型】 知识点1：矩形的性质 1.边：对边平行且相等； 2.角：四个角都是直角； 3.对角线：对角线相等且互相平分； 4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴.（对称轴为矩形对边中点所在的直线） 知识点2：矩形的判定 1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形是矩形； 3. 有三个角都是90°的四边形是矩形. 【例1】（2022秋·湖北·九年级统考期中）已知大小一样的矩形和矩形如图1摆放，，现在把矩形绕点A旋转，如图2，交于点M，交于点N，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点H，由已知可得、都是等腰直角三角形，由勾股定理可得、的长，从而可求得的长． 【详解】设与交于点H，如图， ∵四边形、四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由题意得到若干个等腰直角三角形是问题的关键． 【变式训练】 【变式1】（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列说法错误的是（   ） A．若，四边形是菱形 B．若，四边形是矩形 C．若且，四边形是正方形 D．若，四边形是正方形 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， A、若，则平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、若，则平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； C、若且，则平行四边形是正方形，故选项C不符合题意； D、若，则平行四边形是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，熟练掌握各四边形的判定是解题的关键． 【变式2】（2022春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，，直线经过B，D两点．将直线L平移得到直线，若它与矩形有公共点，则b的取值的范围___________． 【答案】1b7##7b1 【分析】先利用矩形性质得点C、D坐标，用待定系数法求直线L解析式，再分别把A、C两点坐标代入中，求得b的值即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， 直线经过、两点， ， 解得， ， 直线与矩形有公共点，分别将A、C两点坐标代入得： 或， 或， ； 故答案为：1b7． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图像的平移、矩形的性质等知识，准确找到直线与矩形有公共点的两个临界点A与C是解此题的关键． 【变式3】（2021春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，是矩形的边上一点，，是对角线上任意一点，，，垂足分别为和，则一定与图中哪条线段的长度相等：__． 【答案】或 【分析】连接，根据题意的面积等于与面积和，由可得，再由的面积等于，即可得出答案． 【详解】证明：连接，如图, ，，， ， 又四边形是矩形， ，， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质及三角形面积计算，应用等面积法列式计算是解决本题的关键． 【变式4】（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、． (1)若，，求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由已知可求得的长及，由勾股定理求得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果； （2）由矩形的性质及角平分线的意义易得，从而问题解决． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ； 平分， ， ， ∴； 由勾股定理得， ； （2）证明：四边形是矩形， ，，， ， 、分别平分、， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键． 【变式5】（2022秋·湖北宜昌·九年级校联考期中）已知，点F是矩形边上一点，点E在