3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 教案2022-2023学年数学北师大版九年级下册

第三章　圆 6　直线和圆的位置关系 第2课时　切线的判定及三角形的内切圆 教学目标 1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算. 2.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用. 教学重难点 重点：切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算. 难点：三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活运用. 教学过程 导入新课 直线和圆的位置关系的性质与判定： d＞r　直线 l和⊙O相离； d＝r　　直线 l和⊙O相切； d＜r　　直线 l和⊙O相交． 上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，知道了直线和圆有三种位置关系，会判断直线和圆属于哪一种位置关系.判断直线和圆相切的方法有两种，但是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件． 探究新知 1、 圆的切线的判定 探究1 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？ 你能写出一个命题来表述这个事实吗? (1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化?直线l与⊙O的位置关系如何变化? (2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么? 在教学中，教师可以引导学生，拿笔当直线l，让笔绕着点A旋转．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．学生得到的结论： 生1：如上图，直线l1与AB的夹角为α,点O到l１的距离为d1，d1<r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d=r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切：当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l2的距离为d2，d2<r，这时直线l2与⊙O的位置关系是相交． 生2：当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切． 生3：这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 得出结论： 定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ∵ AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB, ∴ CD是⊙O的切线. 这个定理实际上就是 d=r直线和圆相切的另一种说法. 例1.如图，AT是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT＝AB． 求证：AB是⊙O的切线． 分析：AB经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB.又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°.由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB． 证明：∵ AB=AT，∠ABT＝45°，∴ ∠ATB＝∠ABT＝45°． ∴ ∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB＝90°． ∴ AT⊥AB，即AT是⊙O的切线． 例2.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，E是BC边上的中点，连接PE.求证：PE与⊙O相切． 证明：连接OP，BP（图略），则OP＝OB，∴ ∠OBP＝∠OPB. ∵ AB为直径，∴ ∠APB＝90°，∴ BP⊥AP.在Rt△BCP中， ∵ E为斜边BC的中点，∴ PE＝BC＝BE，∴ ∠EBP＝∠EPB， ∴ ∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB，即∠OBE＝∠OPE. ∵ BC与⊙O相切于点B，∴ AB⊥BC，∴ OP⊥PE，即PE是⊙O的切线． 总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 二、三角形的内切圆 探究2 如图，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形的三边都相切. 分析：在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切，即作以三角形内角平分线的交点为圆心，圆心到三角形三边的距离为半径的圆． 解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示)；(2)过点I作BC的垂线，垂足为D；(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆． 思考：这样的圆可以作出几个呢?为什么? 因为BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个. 定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点. 做一做 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况. 结论：内心均在三角形内部 课堂练习 1.如图，P为圆O外一点，OP交圆O于点A，且OA＝2AP．甲、乙两人想作