3.3 垂径定理教案2022-2023学年 数学北师大版九年级下册

第三章　圆 *3　垂径定理 教学目标 1.掌握垂径定理的内容，会利用垂径定理进行有关的计算． 2.通过观察实验理解圆的弦、弧、直径之间的关系，学会应用垂径定理 及其推论解决问题． 教学重难点 重点：垂径定理及其推论． 难点：运用垂径定理及其推论解决有关问题． 教学过程 知识回顾 多媒体展示图片 提出问题： 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是不是轴对称图形呢？ 设计意图：通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力． 探究新知 1、 预习新知 多媒体展示 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M． 师：该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、剪圆，按照轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧的关系并总结．给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中指导． 生：这个图形是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线． 师：你能得出图中有哪些等量关系？说一说你的理由． 生：我们采用折叠的方法，方法如下：将这个图形沿着直径CD所在直线折叠，发现AM与BM重合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重合，与重合；与重合，所以等量关系有AM＝BM，∠CMA＝∠CMB＝90°，∠DMA＝∠DMB＝90°，＝，＝． 师生总结：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 教师点评：我们称上面的结论为垂径定理 教师强调：结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． 上面我们是利用折叠的方法得出了垂径定理，你能不能证明垂径定理呢？ 教师给学生留出足够的思考时间，可以利用轴对称的性质，通过三角形全等进行证明，学生独立解答，代表板演展示，最后教师课件出示解题过程，规范学生的解题步骤． 巩固练习 辨析：判断下列图形能否使用垂径定理． 答案：②可以使用垂径定理 设计意图：让学生在探究的过程中得出垂径定理,并能快速、准确地将该定理的语言进行转化.应鼓励学生用多种方法进行探讨,体会研究图形的多种方法． 2、 合作探究 多媒体展示教材想一想 如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M． (1)上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由． 让学生模仿垂径定理的证明过程，学生先独立思考，然后让学生分组讨论交流，并表述定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 教师展示解题过程 如图，连接OA，OB，则OA＝OB.[ 在等腰△OAB中，∵AM＝MB， ∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)． ∵⊙O关于直径CD所在直线对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合． ∴＝，＝． 师生总结：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 教师点拨：我们把“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”称为垂径定理的推论． 师：为什么上述条件要强调“弦不是直径”？ 生：因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的． 设计意图：在垂径定理的推论的环节处理上，学生可以类比垂径定理的探讨方法，所以这里尽量将时间留给学生，并让学生再次体会研究图形的多种方法． 拓展：垂径定理及其推论的运用方法为知二推二：在 “直径、垂直于弦、平分弦、平分弧” 四个结论中，已知其中的两个结论就可以推导出其他两个结论． 典型例题 【例】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m.求这段弯路的半径． 【问题探索】要求这段弯路的半径可转化为求OC的长，结合已知条件，在Rt△OCF中利用勾股定理即可求得OC的长． 【解】连接OC． 设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD， ∴CF＝CD＝×600＝300(m)．在Rt△OCF中，根据勾股定理， 得OC2＝CF2＋OF2， 即R2＝3002＋(R－90)2， 解个方程，得R＝545. 所以，这段弯路的半径为545 m. 【总结】常用辅助线：连接半径，由半径、半弦长、弦心距构造直角三角形． X.X.K] 课堂练习 1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是(　　) A.AE＝BE B.＝ C.OE＝DE D.∠AOD＝∠BOD 2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径为（　　）