函数、不等式恒成立问题解法 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 一、一元一次不等式在区间上恒成立 对于一次函数有： 例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。 练习：若,不等式恒成立,则的取值范围是______. 解析：本题中已知的范围求的范围，故构造函数时可看作关于的函数，恒成立不等式变形为 ,设,即关于的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要，只需在端点处函数值均大于0即可，即,解得：或 答案：或 二、一元二次不等式在R上恒成立 对于一元二次函数有： （1）上恒成立； （2）上恒成立 例2：若不等式的解集是R，求m的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）时，只需，所以，。 三、一元二次不等式在区间上恒成立 设 （1）当时，上恒成立， 上恒成立 （2）当时，上恒成立 上恒成立 例3：已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_____________ ( m+1 m )解析：恒成立的不等式为，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为所在区间含参，的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到是开口向上的抛物线，若要，只需端点处函数值小于零即可（无论对称轴是否在区间内），所以只需 ，解得 答案： 练习：已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 解析：所证不等式可转化为，作出的图像，当时的取值决定的开口，观察可得，且时，即可， 当时，不等式为，可证明其成立答案： 四、一般不等式恒成立 。 简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例4：求使不等式恒成立的实数的范围。 解析：由于函，显然函数有最大值， 。 练习：已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。 解析：原不等式 当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立 设则 ∴ 五、数形结合思想解决恒成立 例5：已知，求实数a的取值范围。 解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 例6：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________。 解析：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则的图像应在的上方，所以应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图像可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入可得：，综上可得：. 答案： 练习：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________。 解析：本题选择数形结合，可先作出在的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需时，，即，所以 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $