专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练（重难点培优30题）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】 专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练（重难点培优30题） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共31小题） 1．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后按图②所示拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． （2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． （3）利用（2）得到的等量关系，解决如下问题： 若（a+b）2＝13，ab＝2，则（a﹣b）2＝　 　． 2．（2021秋•南康区期末）四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2． （1）继续观察，请你直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的数量关系：　 　； （2）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值． 3．（2022秋•同心县校级期中）如图（1），边长为a的正方形内有一个边长为b的小正方形． （1）请用a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积；（用a、b的代数式表示） （2）小明把阴影部分拼成了一个长方形，如图2，这个长方形的面积又是多少？ （3）根据图（1）和（2）给你的启发，你能验证什么乘法公式？ 4．（2022秋•泉州期中）如图所示，从边长为（a+b）的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： （1）用如图所示图形验证的乘法公式是：　 　； （2）运用（1）中的等式，计算：1.232+2.46×2.77+2.772的值为 　 　； （3）运用（1）中的等式，若x2﹣3x+1＝0，求的值． 5．（2022秋•二道区校级月考）图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着腿线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形边长为 　 　； （2）观察图2，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系：　 　； （3）根据（2）中的结论，如果x+y＝5，xy＝，求代数式（x﹣y）2的值． 6．（2022秋•原阳县月考）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法求阴影部分的面积（不化简）． （2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立． （3）已知（2m+n）2＝12，（2m﹣n）2＝4，请利用（2）中的等式，求mn的值． 7．（2022春•盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示） （2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积． （3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系． （4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2． 8．（2022春•陈仓区期中）根据几何图形的面积可以说明整式的乘法，例如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图①的面积关系来说明． （1）根据图②可以写出的一个等式是 　 　； （2）请你计算（x+p）（x+q），并画出一个相应的几何图形加以说明． 9．（2022春•滕州市期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（结果不用化简）： ①方法1：　 　；方法2：　 　． ②请你写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系； （2）根据（1）题中的等量关系，解决问题：若a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2； （3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，写出它表示的代数恒等式． 10．（2022春•正定县期中）如图，①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚