专项36 锐角三角函数实际应用-母子型-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（人教版）

专项36 锐角三角函数实际应用-母子型 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 1．（2021春•丽水月考）如图，小梦要测量学校旗杆的高度BD，在点A处测得∠BAD＝45°，在点C处测得∠BCD＝60°．已知AC＝8米，点A、C、D在同一直线上，则旗杆的高度BD为（　　） A．（4+4）米 B．（7+7）米 C．（14+14）米 D．（4+12）米 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABD中， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ABD＝∠BAD＝45°． ∴BD＝AD． 在Rt△CBD中， ∵tan∠BCD＝＝tan60°． ∴CD＝＝＝BD． ∵AC＝AD﹣CD， ∴BD﹣BD＝8． ∴BD＝ ＝ ＝12+4． 故选：D． 2．（2021秋•城阳区校级期中）如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（　　）米． A．2 B．4 C．2 D．6 【答案】A 【解答】解：设CD＝x米，BD＝y米， 在Rt△BCD中，BD2＝BC2﹣CD2，即y2＝42﹣x2， 在Rt△BAD中，BD2＝AB2﹣AD2，即y2＝（4）2﹣（x+4）2， ∴42﹣x2＝（4）2﹣（x+4）2， 解得：x＝2，即CD＝2米， 故选：A． 3．（2021春•怀化期中）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了28米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树的高度是 　　． 【答案】14米 【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°， ∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴AD＝CD＝28（米）， 又∵∠ABD＝90°， ∴AB＝AD＝14（米）， ∴树的高度为14米． 故答案为：14米． 4．（2022•武昌区模拟）如图，某河段的两岸平行，小明在一侧河岸的A点观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小刚在距离A点80米的B点测得∠CBD＝30°，根据这些数据可以算出河宽为 　 米（≈1.414，≈1.732，精确到个位）． 【答案】109 【解答】解：过点C作CE⊥DB，垂足为E， 设CE＝x米， 在Rt△CEA中，∠CAE＝45°， ∴AE＝＝＝x（米）， ∵AB＝80米， ∴BE＝AE+AB＝（x+80）米， 在Rt△BEC中，∠CBE＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴x≈109， 经检验：x≈109是原方程的根， ∴河宽约为109米， 故答案为：109． 5．（2022•深圳三模）某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（　　）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈） A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7 【答案】B 【解答】解：设BC＝xm， ∵AB＝2m， ∴AC＝（x+2）m， ∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37° ∴tan∠OBC＝tan67°≈，tan∠OAC＝tan37°≈， ∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°≈x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°≈（x+2）， ∴x＝（x+2）， 解得：x＝， ∴OC≈x＝≈2.2m， 故选：B． 6．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（　　） （精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60） A．28m B．34m C．37m D．46m 【答案】C 【解答】解：由题意可知：AB⊥BC， 在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°， ∵tan∠ADB＝tan58°＝， ∴BD＝≈（m）， 在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°， ∵CD＝70m， ∴BC＝CD+BD＝（70+）m， ∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m）， 解得：AB≈37m， 答：该建筑物AB的高度约为37m． 故选：C． 7．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点