专项37 锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（人教版）

专项37 锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型 已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。 1．（2022•武汉模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是 　 　m（≈1.732，≈1.414，结果保留一位小数）． 【答案】56.8 【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，得矩形DEAB， 由题意得，设塔高CD＝xm，则BD＝AE＝xm，CE＝（x﹣24）m， 在Rt△ACE中，∠CAE＝30°， 则＝，即＝， 解得：x≈56.8． 答：古塔CD的高度约为56.8米． 2．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）． 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E， 由题意得： AB＝DE＝20m， 在Rt△ADE中，∠EAD＝30°， ∴AE＝＝＝20（m）， 在Rt△AEC中，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE•tan45°＝20×1＝20（m）， ∴CD＝CE+DE＝（20+20）m， ∴信号塔的高度为（20+20）m 3．（2022•赛罕区校级一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡比为且CD＝4米，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上． （1）求斜坡CD的高度DE； （2）求大楼AB的高度．（结果保留根号） 【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡比为， ∴＝＝， ∴∠DCE＝30°， 在Rt△DCE中，DC＝4米， ∴DE＝DC＝2（米）， ∴斜坡CD的高度DE为2米； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F， 则DF＝AE，DE＝AF＝2米， 在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°， ∴CE＝DC•cos30°＝4×＝2（米）， 设BF＝x米， ∴AB＝AF+BF＝（x+2）米， 在Rt△DBF中，∠BDF＝45°， ∴DF＝＝x（米）， ∴AE＝DF＝x米， ∴AC＝AE﹣EC＝（x﹣2）米， 在Rt△ABC中，∠BCA＝60°， ∴tan60°＝＝＝， 解得：x＝4+4， 经检验：x＝4+4是原方程的根， ∴AB＝4+4+2＝（4+6）米， ∴大楼AB的高度为（4+6）米． 4．（2022•澄迈县模拟）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形， ∴BC＝EG，BG＝CE＝2m 设教学楼AB的高为xm， ∵∠AFB＝45°， ∴∠FAB＝45°， ∴BF＝AB＝xm， ∴EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m， 在Rt△AEG中，∠AEG＝22° ∵tan∠AEG＝， ∴tan22°＝， ∴， 解得：x≈15m． 答：教学楼AB的高约为15m． 5．（2020•新宾县模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式） 【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F， 在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°， ∴CO＝AO•tan60°＝100（米）． 设PE＝x米， ∵tan∠PAB＝＝， ∴AE＝2x． 在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x， ∵PF＝CF， ∴100+2x＝100﹣x， 解得x＝（米）． 答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）． 6．（2015•通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） 【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点