专项25 二次函数与面积有关的问题-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项25 二次函数与面积有关的问题 类型一：面积等量关系 类型二：面积平分 方法一：利用割补 将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。） 方法二： 铅锤法 （1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C、D 坐标求得铅垂高 （5） 方法三 ：其他面积方法 如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比． 【类型一：面积等量关系】 【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标； 【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； （2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0）， 设点P（m，m2﹣3m﹣4）， 则，， ∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2， ∴S△BCE＝S△BPE， ∴， 解得：m1＝3，m2＝0（舍去）， ∴P（3，﹣4）； 方法二：∵S1＝S2， ∴S△PBE＝S△CBE， ∴PC∥x轴， ∴点P与C关于对称轴x＝对称， ∴P（3，﹣4）； 【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C． （1）求a，c的值； （2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式； （3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得： 解得：； （2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴AB的解析式为：y＝2x+4， 设直线DE的解析式为：y＝mx， ∴2x+4＝mx， ∴x＝， 当x＝3时，y＝3m， ∴E（3，3m）， ∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC， ∴•3•（﹣3m）＝•4•， ∴9m2﹣18m﹣16＝0， ∴（3m+2）（3m﹣8）＝0， ∴m1＝﹣，m2＝（舍）， ∴直线DE的解析式为：y＝﹣x； 【类型二：面积平分】 【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD． （1）①求抛物线的函数表达式； ②直接写出直线AD的函数表达式； （2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标； 【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3）， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3； ②由①得y＝x2﹣x﹣3， 当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， 设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1； （2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1， ∵S1＝2S2，即＝2， ∴＝2， ∴＝， ∵EM⊥x轴，FN⊥x轴， ∴EM∥FN， ∴△BFN∽△BEM， ∴＝＝＝， ∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3， ∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3）， ∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2， ∴F（2+t，t2﹣t﹣2）， ∵点F在直线AD上， ∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1， 解得：t1＝0，t2＝2， ∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）； 【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+