专项24 二次函数与将军饮马最值问题-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项24 二次函数与将军饮马最值问题 考点1：两条线段和最小值问题 一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上） 1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、 A’ 是关于直线m的对称点。 考点2：三条线段和最小值问题 在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 考点3：两条线段差最大值问题 求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。 （2）点A、B在直线m异侧： 解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 【考点1 两条线段和最小值问题】 【典例1】（2019秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标； 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）， 即y＝x2﹣2x﹣3； （2）抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称， 连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB， ∵PA+PC＝PB+PC＝BC， ∴此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）； 【变式1】（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值； 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3）， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）； （2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小， 函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3）， 将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3， 当y＝0时，x＝， 故点E（，0）， 则EC+ED的最小值为DC′＝； 【考点2两条线段和最小值问题】 【典例2】（2022•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C． （1）直接写出h，k的值； （2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴h＝1， ∴y＝（x+1）2+k， ∵是抛物线与y轴的交点， ∴+k＝， ∴k＝1； （2）存在最小值，理由如下： 由（1）可知y＝（x+1）2+1， 作C点关于直线x＝﹣的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ， 由对称性可知C'K＝CQ， ∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ， 当C'、K、D三点共线时，CQ+KQ+KD的值最小， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴KQ＝1， ∵D（3，5），CD⊥x轴， ∵C（3，0）， ∴C'（﹣4，0）， ∴C'D＝， ∴CQ+