专项23 二次函数和线段周长面积最大值-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项23 二次函数和线段周长面积最大值 考点1：线段、周长最大问题 考点2 ：面积最大问题 （1）铅锤法 （1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C、D 坐标求得铅垂高 （5） （2）面积方法 如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比． 如图1 如图2 如图3 （3） 利用相似性质 利用相似图形，面积比等于相似比的平方。 【考点1 线段最大值问题】 【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段ME的最大值； 【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+4， 则，解得：， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4； （2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4或﹣2， 故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4）， 设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：， 故直线BC的表达式为：y＝﹣x+4， 设点M（x，﹣x2+x+4），则点E（x，﹣x+4）， 则ME＝（﹣x2+x+4）﹣（x﹣4）＝﹣x2+2x， ∵，故ME有最大值，当x＝2时，ME的最大值为2； 【变式1-1】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值； 【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得， ， 解得， ∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3； （2）设BC的解析式为y＝kx+b， 将B，C的坐标代入函数解析式得， ， 解得， ∴BC的解析式为y＝x﹣3， 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+， 当n＝时，PM最大＝， ∴线段PM的最大值； 【变式1-2】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上． （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x． ①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？ 【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上， ∴4＝3+m． ∴m＝1． 设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2． ∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上， ∴4＝a（3﹣1）2， ∴a＝1． ∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2． 即y＝x2﹣2x+1． （2）①设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE． ∴PE＝h＝yP﹣yE ＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1） ＝﹣x2+3x． 即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）． ②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+， 又∵a＝﹣1＜0， ∴x＝时，h的值最大，最大值为． 【典例2】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线及直线BC的表达式； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值； 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称， ∴B（3，0）， 设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3， 设直线BC的解析式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3； （2