题型二 圆的相关计算与证明-【新考典】2023中考数学精讲本课件PPT（临沂专用）

数 学 临 沂 二、重难题型精讲练 题型二　圆的相关计算与证明 2 类型一　与切线的性质相关 　（2021临沭县一模）如图，AB为☉O的直径，C为BA延长线上一点，CD是☉O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F. （1）求证：∠ADC＝∠AOF； （2）若sinC＝，BD＝12，求EF的长. 新考典 【思路分析】　（1）连接OD，由切线的性质得到∠ADC＋∠ADO＝90°，由等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ADO，根据∠AOF＋∠DAO＝90°，由等量代换即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到OE＝BD＝×12＝6，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论. 新考典 【自主解答】 新考典 （1）证明：连接OD.∵OF⊥AD， ∴∠AOF＋∠DAO＝90°.∵CD是☉O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°.∴∠ADC＋∠ADO＝90°.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠ADC＋∠DAO＝90°.∴∠ADC＝∠AOF. 新考典 （2）解：∵OF⊥AD，∴AE＝DE.又AO＝OB，∴OE是△ABD的中位线.∴OE∥BD，OE＝BD＝×12＝6.∵sinC＝＝，∴设OD＝x，OC＝3x.∴OB＝x.∴CB＝4x.∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD.∴＝.∴＝.∴OF＝9.∴EF＝OF－OE＝9－6＝3. 新考典 　如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，D是OC延长线上任意一点，DE切半圆O于点E，连接AE，交OC于点F. 新考典 （1）求证：DE＝DF. （1）证明：连接OE.∵OE＝OA，∴∠A＝∠AEO. ∵DE切半圆O于点E， ∴∠DEO＝90°.∴∠DEF＋∠AEO＝90°.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°. ∴∠A＋∠AFO＝90°.∴∠AFO＝∠DEF. 又∠AFO＝∠DFE，∴∠DFE＝∠DEF.∴DF＝DE. 新考典 （2）若CD＝2，tan∠AFO＝3，求EF的长. （2）解：∵tan∠AFO＝＝3，∴设OA＝3x，OF＝x.∴OE＝OC＝OA＝3x.∴OD＝2＋3x，DE＝DF＝2＋2x.∵∠DEO＝90°，∴OE2＋DE2＝OD2，即（3x）2＋（2＋2x）2＝（2＋3x）2.解得x1＝1，x2＝0（舍去）. ∴DE＝4，OE＝3，OD＝5.如图，过点E作EH⊥OD于H， ∴S△DEO＝DE·OE＝OD·EH.∴EH＝＝＝. ∴OH＝＝.∴HF＝.∴EF＝＝. 新考典 类型二　与切线的判定相关 　（2022沂南县一模）如图，AB为☉O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交☉O于点C，连接CO，并延长CO与AB的延长线交于点D，与☉O交于点F，连接AC. （1）求证：AC为☉O的切线； （2）若☉O的半径为2，OD＝4，求阴影部分的面积. 新考典 【思路分析】　（1）连接OB，证明△AOC≌△AOB，由全等三角形的性质得出∠ABO＝∠ACO，再由切线的性质得出∠ABO＝90°，即可得出结论.（2）解直角三角形得到∠BOD＝60°，根据S阴影＝S△BOD－即可得解. 新考典 【自主解答】 新考典 （1）证明：连接OB. ∵AB是☉O的切线， ∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°.∵BC是弦，BC⊥OA，∴CE＝BE.∴AC＝AB.又AO＝AO，CO＝BO，∴△AOC≌△AOB.∴∠ACO＝∠ABO＝90°，即AC⊥OC.又OC是☉O的半径，∴AC为☉O的切线. 新考典 （2）解：在Rt△OBD中，∠DBO＝90°，OB＝2，OD＝4，∴BD＝＝2，cos∠BOD＝＝＝.∴S△BOD＝2×2×＝2， ∴∠BOD＝60°.∴＝＝. ∴S阴影＝S△BOD－＝2－. 新考典 　（2022枣庄）如图，在半径为10cm的☉O中，AB是☉O的直径，CD是过☉O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝6cm. 新考典 （1）求证：CD是☉O的切线； （1）证明：连接OC. ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO.∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.∵AD⊥DC，∴CO⊥DC.又OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线. 新考典 （2）求AD的长. （2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线. ∴AC＝2OE.∵OE＝6cm，∴AC＝12cm.∵AB是☉O的直径， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB. ∴＝，即＝. ∴AD＝cm. 新考典 请完成《精练本》第72－74页练习 新考典 $