湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学（人教版）选修1-1教案：第三章 导数及其应用（打包13份）

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时） 【学情分析】： 高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。 【教学目标】： （1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； （2）掌握利用导数判断函数单调性的方法 （3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性 【教学重点】： 利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 情景引入过程 [来源:学*科*网] 从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数： 分析运动动员的运动过程： 上升→最高点→下降 运动员瞬时速度变换过程： 减速→0→加速 从实际问题中物理量入手 学生容易接受 实际意义向函数意义过渡 从函数的角度分析上述过程：[来源:Zxxk.Com] 先增后减 由正数减小到0，再由0减小到负数 将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍 引出函数单调性与导数正负的关系 通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系 进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系 我们能否得出以下结论： 在某个区间（a,b）内，如果 ，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 答案是肯定的 从导数的概念给出解释 表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在 附近单调递增 表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在 附近单调递减 所以，若 ，则 ，f(x)为增函数 同理可说明 时，f(x)为减函数 用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮助理解与记忆 导数正负与函数单调性总结 若y=f(x)在区间（a,b）上可导，则 （1）在（a,b）内， EMBED Equation.DSMT4 y=f(x)在（a,b）单调递增 （2）在（a,b）内， EMBED Equation.DSMT4 y=f(x)在（a,b）单调递减 抽象概括我们的心法手册（用以指导我们拆解题目） 例题精讲 1、根据导数正负判断函数单调性 教材例1在教学环节中的处理方式： 以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:Z.xx.k.Com] 小结：导数的正负→函数的增减→构建函数大致形状 提醒学生观察 的点的图像特点（为下节埋下伏笔） 丢出思考题：“ ”的点是否一定对应函数的最值（由于学生尚未解除“极值”的概念，暂时还是以最值代替）[来源:学科网ZXXK] 例题处理的目标就是为达到将“死结论”变成“活套路” 2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间 教材例2在教学环节中的处理方式： 可以先以 为例回顾我们高一判断函数单调性的定义法；再与我们导数方法形成对比，体会导数方法的优越性。 引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册” 判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负 →Y，得出函数单调性； →N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间 补充例题： 已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+ )′=1－1·x－2= 令 ＞0. 解得x＞1或x＜－1. ∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 要求根据函数单调性画此函数的草图 3、实际问题中利用导数意义判断函数图像 教材例3的处理方式： 可以根据课程进度作为课堂练习处理 同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学校的路程与时间的函数图像） 堂上练习 教材练习2——由函数图像写函数导数的正负性 教材练习1——判断函数单调性，计算单调区间 针对教材的三个例题作知识强化练习 内容总结 体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性 体会学习导数的重要性 课后练习： 1、函数 的递增区间是（ ） A B C D 答案C 对于任何实数都恒成立 2、已知函数 在 上是单调函数,则实数 的 取值范围是（ ） A B C D 答案B 在 恒成立， 3、函数 单调递增区间是（ ） A B C D 答案C 令 4、对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ）