专题14 将军饮马问题-【题型方法解密】2023年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题14 将军饮马问题 模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。问如何行走才能使总的路程最短。 模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。 数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。 方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’ P’’的长。 模型四 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。 数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。 方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’ Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。 模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。 模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。 模型六：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P’，过点P’作P’N⊥BC，垂足为点N，P’N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’N的长。 模型五、模型六的理论依据：垂线段最短。 模型七（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 模型八（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边。 模型九 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值。 方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0。 模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？ 方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A’，连接A’B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B+MN 模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值。 方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A’，作B关于直线L的对称点B’，连接A’B’，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B’+MN 模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短。 【培优训练】 1．（2022秋·广东韶关·八年级校考期中）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________． 2．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______． 3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______． 4．（2021秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____． 5．（