5 题型五 二次函数的综合应用-【智乐星中考·中考备战】2023年山东菏泽中考数学

题型五　二次函数的综合应用 类型1　线段、周长问题 (2021·东营)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝－x＋2过B，C两点，连接AC. (1)求抛物线的表达式； (2)求证：△AOC∽△ACB； (3)M(3，2)是抛物线上的一点，D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD＋PM的最小值． 【解题方法】利用待定系数法求函数表达式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【思路分析】 (1)先利用直线y＝－x＋2得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解； (2)根据表达式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证； (3)用含x的代数式设点D的坐标，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当x＝2时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可． 【核心素养】运算能力、推理能力、模型观念． 【规范解答】 1．(2021·大庆)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2＋bx＋c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝－2的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F的坐标； ②过点F的直线l与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，＋是定值，并求出该定值； (3)C(3，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标． 类型2　图形面积问题 (2018·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D. (1)求此抛物线的表达式； (2)E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积； (3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积． 【解题方法】二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的表达式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算． 【思路分析】 (1)根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得抛物线的表达式； (2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积； (3)根据题意可以求得直线AB的函数表达式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【核心素养】运算能力、抽象能力、应用意识． 【规范解答】 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)若PC∥AB，求点P的坐标； (3)连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标． 类型3　特殊三角形问题 (2019·菏泽)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，－2)，点A的坐标是(2，0)，点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝－1. (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积； (3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题方法】二次函数的对称轴、二次函数与直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和代数式的计算是解决本题的关键． 【思路分析】 (1)由A，B两点的坐标可得函数的表达式为y＝a(x－2)(x＋4)＝a(x2＋2x－8)，即可求解； (2)PE＝OD，则PE＝x2＋x－2＋x＋2＝－x，求得点D(－5，0)，利用S△PBE＝PE·BD＝(x2＋x－2＋x＋2)(－4－x)，即可求解； (3)分BD＝BM和BD＝DM两种情况进行分类讨论：当BD＝BM时，由题意可知BD＝1＝BM，则yM＝BM·sin∠ABC＝，即可求解；当BD＝DM时，同理可得解． 【核心素养】运算能力、抽象能力、模型观念． 【规范解答】 3. (2022·滨州)如图，在平面