4 题型四 几何探究综合题-【智乐星中考·中考备战】2023年山东菏泽中考数学

题型四　几何探究综合题 类型1　动点探究题 (2021·湖南)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°.点E，F分别为边AB，AC的中点，点H为线段EF上一动点(不与点E，F重合)，将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB. (1)证明：△AHB≌△AGC； (2)如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q. ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°； ②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？ 【解题方法】熟练掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键． 【思路分析】 (1)由旋转的性质得AH＝AG，∠HAG＝90°，从而得∠BAH＝∠CAG，进而即可得到结论； (2)①由△AHB≌△AGC得AH＝AG，再证明 △AEH≌△AFG，进而即可得到结论；②△AQG为等腰三角形，分3种情况：(a)当∠QAG＝∠QGA＝45°时，(b)当∠GAQ＝∠GQA＝67.5°时，(c)当∠AQG＝∠AGQ＝45°时，分别画出图形求解，即可． 【核心素养】运算能力、几何直观、推理能力． 【规范解答】 1．如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N. (1)求证：AF＝EF； (2)求MN＋NG的最小值； (3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？ 2．(2017·菏泽)正方形ABCD的边长为6 cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于点F，过点M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N. 图1　　　　　图2 (1)如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN； (2)如图2，若点M从点D出发，以1 cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s. ①设BF＝y cm，求y关于t的函数表达式； ②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长． 类型2　图形变化探究题 考法❶　平移问题 在平面直角坐标系中，点O为原点，点A(6，0)，点B在第一象限，∠OAB＝90°，点C为边OB的中点，AB＝AC. (1)如图1，求点B的坐标； (2)将△OAC沿x轴向右平移得△O′A′C′，点O，A，C的对应点分别为O′，A′，C′.设OO′＝t，△O′A′C′与△ABC重叠部分的面积为S. ①如图2，当△O′A′C′与△ABC重叠部分为四边形时，O′C′与AC相交于点D，A′C′与AB相交于点E，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当S＝ 时，求t的值．(直接写出结果即可) 【解题方法】熟练掌握直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、三角函数、平移的性质、一元二次方程的解法等知识，是解题的关键． 【思路分析】 (1)由∠OAB＝90°，点C为边OB的中点可知CA＝CB＝CO，则△ABC为等边三角形，再根据含60°角的特殊直角三角形进行求解即可； (2)①根据S四边形DAEC′＝S△C′O′A′－S△O′AD－S△AA′E，然后分别用t表示出三个三角形的面积，最后求解即可；②根据①求出的表达式，代入值进行求解即可． 【核心素养】运算能力、推理能力、抽象能力． 【规范解答】 3．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3 cm，AC＝DF＝4 cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD(如图2)，当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3)．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连接OB，OE(如图4)． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 考法❷　旋转问题 (2019·菏泽)如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°. (1)如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD； (2)如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P.若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积． 【解题方法】本题属于几何变化综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定