3 题型三 与切线有关的证明及计算-【智乐星中考·中考备战】2023年山东菏泽中考数学

题型三　与切线有关的证明及计算 类型1　与切线的判定有关的证明及计算 (2022·滨州)如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M. 求证：(1)PD是⊙O的切线； (2)AM2＝OM·PM. 【解题方法】根据等腰三角形性质及直径所对的圆周角是90°进行等角转换，可证得PD为切线；找出2对等角，证三角形相似，可证得第(2)问． 【思路分析】 (1)先连接OB，然后根据题目中的条件可以得到∠OBD＝90°，从而证明结论成立； (2)根据题目中的条件和(1)中的结论，可以证明△OAM∽△APM，从而证明结论成立． 【核心素养】模型观念、推理能力、空间观念． 【规范解答】 1．(2016·菏泽)如图，直角三角形ABC内接于⊙O，D是Rt△ABC 斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，连接PO交⊙O于点F. (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若PC＝3，PF＝1，求AB的长． 2．(2022·常德)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于点D，OC∥AD，连接AC交ED于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长． 3．(2022·鄂州)如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D. (1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若PC＝4，tan A＝，求△OCD的面积． 类型2　与切线的性质有关的证明及计算 (2020·菏泽)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：DE⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长． 【解题方法】运用圆的切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题关键． 【思路分析】 (1)连接AD，OD.先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD＋∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC. (2)由等腰三角形的性质求出BD＝CD，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案． 【核心素养】几何直观、推理能力、空间观念． 【规范解答】 4．(2022·永州)如图，已知AB，CE是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点D在EA的延长线上，AC，OD交于点F，∠MBC＝∠ACD. (1)求证：∠MBC＝∠BAC； (2)求证：AE＝AD； (3)若△OFC的面积S1＝4，求四边形AOCD的面积S. 5．(2022·临沂)如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD，过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G. (1)求证：∠D＝∠E； (2)若点F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积． 6．(2022·眉山)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC. (1)求证：BC是∠ABD的角平分线； (2)若BD＝3，AB＝4，求BC的长； (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积． 参考答案 【题型分类突破】 【核心母题1】 证明：(1)如图，连接OB. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. ∵ AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝90°. ∵∠CBD＝∠CAB， ∴∠OBA＝∠CBD， ∴∠CBD＋∠OBC＝∠OBD＝90°. 又∵OB是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线． (2)∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°. 又∵PD是⊙O的切线，∴OP垂直平分AB， ∴∠AMO＝∠AMP＝∠OAP＝90°， ∴∠OAM＋∠PAM＝∠PAM＋∠APM＝90°， ∴∠OAM＝∠APM，∴△OAM∽△APM， ∴＝，∴AM2＝OM·PM. 【核心母题跟踪练】 1．(1)证明：如图，连接OC.∵ED⊥AB， ∴∠A＋∠AED＝90°. ∵∠ECP＝∠AED，∠A＝∠ACO， ∴∠ECP＋∠ACO＝90°. 即PC⊥OC，∴PC是⊙O的切线． (2)解：如图，延长PO，交圆于点G，连接CF，CG. 设圆的半径为r，则PG＝PF＋FG＝1＋2r. 在△OCF中，OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF. ∵∠OCF＋∠PCF＝90°，∠OFC＋∠G＝90°， ∴∠