29第六章 第二节 与圆有关的位置关系-【智乐星中考·中考备战】2023年山东菏泽中考数学

精讲本 2023 菏泽 数学 1 第二节　与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，则 (1)点P在圆外⇔d _____r. (2)点P在圆上⇔d _____r. (3)点P在圆内⇔d _____r. 知识点1 点、直线与圆的位置关系 > ＝ < 2 2．直线和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为OP＝d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 相离 相切 相交 图示 d与r的 关系 d>r d＝r d<r 交点个数 没有交点 1个交点 2个交点 3 1．切线：直线和圆有________的公共点(即直线和圆相切)时，这条 直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点． 2．切线的性质：圆的切线________于过切点的半径． 3．切线的判定 (1)定义判定：和圆有________公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：圆心到直线的距离等于________的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端且________于半径的直线是圆的切线． 知识点2 切线的判定与性质 唯一 垂直 唯一 半径 垂直 4 4．切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． 5．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 5 1．和三角形三边都________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心． 2．三角形的内心是三角形的三条____________的交点，它到三角形三边的距离相等． 3．三角形的内心在三角形的内部． 知识点3 三角形的内切圆 相切 角平分线 6 7 点、直线与圆的位置关系 (10年0考) 命题点1 (2019·菏泽)如图，直线y＝－ x－3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是________________． 8 【思路分析】根据函数表达式求得A，B两点的坐标，得到OA，OB的长度，根据勾股定理得到AB的长度．设⊙P与直线AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，求出PD的长度，根据相似三角形的性质即可得到结论． 9 ∵直线y＝－ x－3交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝－4， ∴A(－4，0)，B(0，－3)， ∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5. 10 11 (2021·嘉兴)已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm， 线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 D 12 三角形的内切圆 (10年0考) 命题点2 如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆， 连接AE，BE，则∠AEB的度数为________． 13 【思路分析】连接EC.首先证明∠AEC＝135°，再证明△AEC≌△AEB即可解决问题． 14 15 1.命题规律： 与切线有关的证明及计算 (10年9考) 16 2．方法点拨： 切线证明的常见模型有三种： ①弦切角模型； ②平行线＋角平分线模型； ③双切线模型． 多以平行线＋角平分线模型为背景，在此基础上进行演变，可变式成弦切角模型、双切线模型，从而证明切线． 17 考法❶　与切线性质有关的证明及计算 (2019·菏泽)如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A. (1)求证：∠ABG＝2∠C； (2)若GF＝3 ，GB＝6，求⊙O的半径． 18 【规范解答】 (1)证明：如图，连接OE. ∵EG是⊙O的切线， ∴OE⊥EG. ∵BF⊥GE，∴OE∥AB， ∴∠A＝∠OEC. ∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C， ∴∠A＝∠C. ∵∠ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C. 19 20 21 【规范解答】 (1)证明：如图，连接OE. ∵EF＝FP，∴∠FEP＝∠FPE. ∵∠APH＝∠FPE， ∴∠FEP＝∠APH. ∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE. ∵CD⊥AB，∴∠AHP＝90°， ∴∠FEO＝∠FEP＋∠AEO＝∠APH＋∠PAH＝90°. 又∵OE为⊙O的半径，∴FE是⊙O的切线． 22 23 1．(2022·菏泽)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC，BC于点D， E，且点D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H. (1)求证：直线HG是⊙O的切线； (2)若HA＝3，cos B＝ ，求CG的长． 24 (1)证