6.3.3二项式定理的综合应用学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 二项式定理的综合应用 重点 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 难点 二项式函数的项的系数问题 考试要求 考试 · 题型 选择 填空 · 难度 中等 核心知识点一：二项式定理 （1）二项式定理：（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn（n∈N*）； （2）通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C。 核心知识点二：二项式系数的性质 （1）对称性：当0≤k≤n时，。 （2）二项式系数的最值：二项式系数先增后减中间项最大，且n为偶数时第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为或。 （3）各二项式系数和：， 。 核心知识点三：二项式函数的项的系数与二项式系数 （ax+b）n= C（ax）0bn＋C（ax）1bn-1＋…+C（ax）n-rbr＋…＋C（ax）nb0。其中第r+1项Tr+1= C（ax）n-rbr= C（an-rbr） xn-r的系数为C（an-rbr），二项式系数为C。 核心知识点四：二项式展开式各项的构成原理 （a+b）n即n个（a+b）相乘，其展开式中的每一项是从n个（a+b）中的r个中取出b，再从剩下的n-r个中取出a，相乘，得到an-rbr，因为这样的取法共有C种，所以得到的项就是Can-rbr。这实际上是分步计数原理的应用。 利用这个原理，我们可以解决一些由此引申的问题。比如：（a+b）n（c+d）m的展开式的通项为（Can-rbr ）（Ccm-kdk），其中r=0，1，…，n，k=0，1，…，m；（a+b+c）n的展开式的通项为CCarbkcn-r-k，其中k≤n-r，r≤n。 类型一：求展开式中的特定项 例题1 已知在（－）n的展开式中，第6项为常数项。 （1）求n； （2）求含x2的项的系数； （3）求展开式中所有的有理项。 【思路分析】写出通项Tr＋1→令r＝5，x的指数为零→（1）求出n值→修正通项公式→（2）求x2项的系数→考察x指数为整数→分析求出k值→（3）写出有理项 【解析】通项公式为： （1）∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10。 （2）令＝2，得r＝（n－6）＝2，∴所求的系数为C（－3）2＝405。 （3）由题意得，令＝k（k∈Z）， 则10－2r＝3k，即r＝5－k，∴即 ∵r∈Z，∴k应为偶数。k＝2，0，－2，即r＝2，5，8， 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2。 【总结提升】通项公式的主要作用是用来求展开式中的特定项，求二项展开式的特定项常见题型有：①求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xr的项（或xpyq的项）；③求常数项；④求有理项。 类型二：二项式系数与项的系数问题 例题2 （1）求二项式（2－）6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； （2）求（x－）9的展开式中x3的系数。 【思路分析】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解。 【解析】由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝C（2）6－r·（－）r ∴ ∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为－12。 （2）设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则 Tr＋1＝Cx9－r·（－）r＝（－1）r·C·x9－2r， ∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为（－1）3·C＝－84。 【总结提升】 1. 本题的易错点是混淆二项式系数与项的系数。 2. 求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别。 类型三：求展开式的系数和 例题3 设（1－2x）2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012（x∈R）。 （1）求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值。 （2）求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值。 （3）求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值。 【思路分析】先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解。 【解析】（1）令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝（－1）2 012＝1。① （2）令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012。② ①－②得 2（a1＋a3＋…＋a2 011）＝1－32 012， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝。 （3）∵Tr＋1＝C（－2x）r＝（－1）r·C·（2x）r， ∴a2k－1＜0（k∈N*），a2k＞0（k∈N）。 ∴|a0|＋|a1|＋|