专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题 【考点预测】 一、证明不等式常用的方法和思路 作差构造函数，转化为最值问题 二、不等式恒成立问题常用的方法和思路 (1)直接法 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 三、零点问题常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【题型归纳目录】 题型一：证明不等式 题型二：恒成立问题 题型三：零点问题 【典例例题】 题型一：证明不等式 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）证明：当时，． 【解析】由题设，要证，只需证即可， 令，则， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ∴，得证． 2．（2023春·广东广州·高二校考阶段练习）求证：． 【解析】证明：令，则 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增 则在时求得最小值， 即在上恒成立，即在上恒成立 3．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性，并证明当时，. 【解析】由已知得， . 因为，所以. 因为当时，，所以在上单调递增; 所以当时，，即. 题型二：恒成立问题 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为 ①当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为 ②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为 综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为 （2）在恒成立，则在恒成立 即在恒成立 令 令，， ，，则在上恒成立 在上单调递增， 在单调递增， 在恒成立，则 的范围是. 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， ∴，， ∴切线方程为， 即 （2）∵， ∴原条件等价于：在上，恒成立. 化为 令， 则 令，则 在上，， ∴在上， 故在上，；在上， ∴的最小值为，∴ 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）函数，切点为， ，∴， ∴的图象在处的切线方程为：，即. （2）令，. ，设，， ∵，∴，在上单调递增， 即在上单调递增，， 当时，，∴在上单调递增， ∴， ∴当时，恒成立. 当时，， ∵函数在上存在唯一的零点， ∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上可得：的取值范围是. 题型三：零点问题 7．（2023·四川·高三统考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数． (1)求a，b的值； (2)证明：函数有唯一零点． 【解析】（1）因函数是定义在R上的奇函数，则，， 因此，恒成立，所以. （2）由（1）知，，，在上单调递增，则函数至多有一个零点， 又，所以函数有唯一零点． 8．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 【解析】（1）因为， 所以在区间上单调递减， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值. （2）先讨论在上的零点个数， 由（1）可知，在上递减，， 所以在上递减，因为， 所以在上有唯一零点， 又因为， 所以是偶函数，所以在上有两个零点. 9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)讨论函数在区间内的单调性； (2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围． 【解析】(1)， （Ⅰ）当，即时， ，在单调递减 （Ⅱ）当，即时， ，在单调递增 （Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增； 当时，，单调递减 综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减 （Ⅱ）当时，在单调递增 （Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减 (2)由（1）知：当时， 即 ，在无零点 当时， 即，在无零点 当时，在单调递增，在单调递减 ， 只需 即可 即 ， 综上所述， 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·北京石景山·高一统考期末）已知函数，则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】的定义域为， 由题意可得， 因为单调递增且当时，当时， 所以存在唯一一点使得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点， 又因为，，所以有2个零点， 故选：C 2．（2023·山东潍坊·高三统考期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【解析】∵过定