专题19 三角恒等变换-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题19 三角恒等变换 【考点预测】 知识点一：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点二：二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点三：降次（幂）公式 知识点四：辅助角公式 （其中）． 【方法技巧与总结】 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 【题型归纳目录】 题型一：两角和与差公式的证明 题型二：给式求值 题型三：给值求值 题型四：给值求角 题型五：正切恒等式及求非特殊角 【典例例题】 题型一：给式求值 【方法技巧与总结】 给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式. 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】且，，. 又，，. 当时， ， ，，不合题意，舍去； 当，同理可求得，符合题意. 综上所述：. 故选：. 例2．（2023·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴， 则， ， ∴ ， 故选A. 例3．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵， 故选：C. 题型二：给值求值 【方法技巧与总结】 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式. 例4．（2023·全国·模拟预测）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B． 例5．（2023·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，又， 所以， 所以。 即，所以 故选：B 例6．（2023·广东茂名·模拟预测）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 故选：B. 题型三：给值求角 【方法技巧与总结】 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 例7．（2023·全国·高三专题练习）若，，且，，则的值是______． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，，所以， 所以. 故答案为：. 例8．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，且，求的值为_____． 【答案】 【解析】，则，注意到 ，于是 ，不妨记 ，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得： ，而，于是 . 故答案为：. 例9．（2023·上海市大同中学高三开学考试）若，且，则的值为___________. 【答案】或 【解析】由题意知， 则， 即， 当时，，即， 由，得； 当时，， 所以，即， 由，得，所以，得. 故答案为：或 题型四：正切恒等式及求非特殊角 例10．（2023·重庆八中高三阶段练习）（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 故选：A． 例11．（2023·全国·高三专题练习）___________. 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 例12．（2023·贵州黔东南·一模）若，，则___________. 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 故选：C 2．（2023·重庆北碚·高一统考期末）若，都是锐角，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】，都是锐角，则， 则由题意得，又， ． 故选：A． 3．（2023·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 4．（2023·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得， 即， 解得，或（舍去）， ， 则， 则， 故选：D. 5．（2023·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）锐角满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】由，有， 为锐角，，得， ∴. 故选：A. 6．（2023·山西