【杨仲鉴编写】九年级上册数学十二道二次函数综合相似三角形的压轴题

` 1 十二道二次函数综合相似三角形的压轴题(练习版) 杨仲鉴编写 1. 已知抛物线 y= - 2 1 x2-2x+c。 (1) 如图 1，当 c=16时，抛物线分别交 x轴于 A、B两点(点 A在点 B的左侧)，交 y轴于点 C。 ① 求直线 AC的解析式； ② 点 P在直线 AC上方的抛物线上，PD//y轴交 AC于 D，PE//x轴交抛物线于另一点 E，PE=PD，求点 P 的横坐标。(请先在图 1中补全图形) (2) 如图 2，抛物线与 x轴有唯一公共点 F，直线 yMN=kx+b交抛物线于 N、M两点 (点 N、点M分别在抛物线 对称轴的左侧、右侧)，MG⊥x轴交直线 NF于 G，点 G的纵坐标为 4，求证：直线 MN经过某定点。 图 1 图 2 ` 2 2. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c交 x轴于 A、B（点 A在点 B的左侧），交 y轴的负半轴于 C，OA=OB=OC=2。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 在图 1中，点 D在 y轴的负半轴上，直线 DE⊥BC交抛物线于 E、F两点 (点 E在点 F的右侧)，DF=3DE， 求点 D的坐标；(请先在图 1中补全图形) (2) 如图 2，点M在第二象限的抛物线上，点 N与点M关于 y轴对称，连接MB，异于M、B的点 P在线段 MB上，xP=t (t为常数)，直线 PQ⊥x轴于 R，交直线 NB于 Q，求 RQ - RP的值 (用含 t的代数式表示)。 图 1 图 2 ` 3 3. 抛物线 y=ax2+bx+2交 x轴于 A(-1，0)、B两点，AB=5，交 y轴于点 C，对于该抛物线上的任意两点 P1(x1，y1)、 P2(x2，y2)，当 x1＜x2≤-1时，总有 y1＜y2。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 直线 yAD=kx+d 交抛物线于 D(点 D不与点 B、C重合)，交线段 BC于 E。 ① 当∠DEB=45º时，求点 D的坐标； ② 当 t≤k≤t+ 4 1 时， ED AE 的最小值为 2 5 ，求 t的值。 ` 4 4. 已知抛物线 y= 2 1 kx2- 2 3 kx-2k交 x轴于 A、B两点(点 A在点 B的左侧)，交 y轴的负半轴于点 C。 (1) 如图 1，△ABC是直角三角形，求该抛物线的解析式； (2) 如图 2，在(1)的条件下，直线 y= - 2 1 x-3 交 x轴于点 D，交 y轴于点 E，动点 P在抛物线上，PQ⊥DE于 Q， PR⊥x轴交 DE于 R，求△PQR面积的最小值； (3) 如图 3，抛物线的顶点为M，对称轴交 x轴于 H。异于M的动点 N在 x轴下方的抛物线上，直线 BN交直 线MH于 F，直线 AN交 y轴于 G，探究线段MF、OG、HM之间的数量关系。(请先在图 3中补全图形) 图 1 图 2 图 3 ` 5 5. 抛物线 y= 2 1 (x+4)(x-m-2) (m＞0)交 x轴于 A、B两点 (点 A在点 B的左侧)，交 y轴于点 C，△ABC外接圆的 圆心是 P，半径为 r，直线 CD//x轴交抛物线于 D。 (1) 当 m=1时，求 OB OC 的值； (2) 若直线 AC、BD的解析式分别为 y=k1x+b1，y=k2x+b2，求证：k1+k2=0； (3) 若△ABC的外接圆与 y轴交于另一点 E，且△BDE的周长为 t，试判断 r t 的值是否为定值？若是，求其值； 若不是，请说明理由。 ` 6 6. 如图 1，抛物线 y=-x2+bx+4过点 A(-4，0)，交 y轴于点 C，交 x轴的正半轴于点 B。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图 2，连接 AC、BC。直线 AD交抛物线于另一点M，当∠DAC=∠BCO时，求点 D的坐标；(请先在图 2 中补全图形) (3) 如图 3，过点 Q(q，-1)的直线 DE(不与 y轴平行)交抛物线于 D、E，直线 BD、BE分别交 y轴于 F、G两点。 问：是否存在 q的值，使 OF • OG为定值？若存在，求 q的值，若不存在，请说明理由。 图 1 图 2 图 3 ` 7 7. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c（a< 0）经过原点 O。 (1) 抛物线交 x轴于另一点 B，其顶点为 A，b = 2，求∠AOB的度数； (2) 抛物线经过 ( - 2，m)、(2，m)两点，当 - 3≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为 4。 ① 求抛物线的解析式； ② 直线 yMN = kx - 1交抛物线于M、N两点(点M在点 N的左侧)，点 P在直线 y = 1上，xP ≠ 0，直线 PC //y轴，分别交直线MN、抛物线于 C、D，D是 PC的中点，求证：∠MPN = 90°。 ` 8 8. 如图 1，抛物线 y=ax2-2a