11.2 正弦定理-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

11．2　正弦定理 学业标准 素养目标 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点) 2．能根据条件，判断三角形解的个数．(难点) 3．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．(重点) 1．通过对正弦定理的探索，培养学生抽象核心素养． 2．通过判断三角形解的个数、判断三角形的形状，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　正弦定理 　△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？ [提示]　 ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A． 　将问题1中得到的结论代入三角形面积公式S＝ah，可以推导出怎样的三角形面积公式？ [提示]　S＝absin C，S＝bcsin A， S＝acsin B． 　如果对式子S＝absin C＝bcsin A＝acsin B，两边同时除以abc，得到什么式子？ [提示]　能得到＝＝. ◎结论形成 1．正弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边与它所对角的__正弦__的比相等 符号 语言 ＝　　＝　　 2．正弦定理对__任何__三角形都成立，它反映了一个三角形中各边与其__对角正弦值__之间的关系． 3．正弦定理的变形 (1)＝　　，＝　　，＝　　； (2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B； (4)＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． [基础自测] 1．下列有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一个定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.其中正确的个数是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，故③正确；由于＝，所以＝，同理，＝，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，故④正确．故选B 答案　B 2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　) A． B． C． D．1 解析　因为a＝3，b＝5，sin A＝，所以由正弦定理得sin B＝＝＝. 答案　B 3．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　) A．4∶1∶1 B．2∶1∶1 C．∶1∶1 D．∶1∶1 解析　∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°. 由正弦定理的变形公式得a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30° ＝∶∶＝∶1∶1，故选D． 答案　D 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝(　　) A． B． C．2 D．4 解析　由正弦定理得b＝＝＝＝2. 答案　C 题型一　利用正弦定理解三角形 　已知△ABC中的下列条件，解三角形： (1)A＝45°，B＝30°，a＝2； (2)A＝30°，a＝，b＝2. [解析]　(1)由三角形内角和定理得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 根据正弦定理得， b＝＝＝＝， c＝＝＝＝＝＋1. (2)由＝，得sin B＝＝＝， ∵a<b，∴B>A＝30°，∴B＝45°或B＝135°. 当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，又＝， ∴c＝＝＝＝＝＋1. 当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°， ∴c＝＝＝＝－1. ∴B＝45°，C＝105°，c＝＋1 或B＝135°，C＝15°，c＝－1. [规律方法] 1．已知两角和任意一边解三角形的方法 2．已知两边及一边的对角解三角形的步骤 [触类旁通] 1．(1)在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，则B＝(　　) A．45°或135°　　　　 B．135° C．45° D．60° (2)在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________． 解析　(1)由cos A＝，得sin A＝，A＝60°，由正弦定理sin B＝＝.因为三角形的内角和为180°，且a>b，所以B＝45°. (2)由题意，因为B＝45°，C＝60°， 所以A＝180°－B－C＝75°，最短边为b， 由正弦定理，得b＝＝＝. 答案　(1)C　(2) 题型二　三角形形状的判断(一