11.1 余弦定理-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

11．1　余弦定理 学业标准 素养目标 1．掌握并熟记证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点) 2．掌握余弦定理在实际问题中的应用．(难点) 1．通过学习运用余弦定理解三角形，培养数学运算核心素养． 2．通过借助余弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学　余弦定理 在△ABC中，AB＝3，BC＝2，B＝60°. 　△ABC确定吗？ [提示]　确定． 　能利用向量求边AC吗？ [提示]　能． ∵＝－，∴2＝(－)2 ＝2－2·＋2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32＝7. ∴||＝，即边AC为. ◎结论形成 1．余弦定理 文字 语言 三角形中任何一边的__平方__，等于其他两边__平方的和__减去这两边与它们夹角的__余弦的积的两倍__ 符号 语言1 a2＝__b2＋c2－2bccos_A__； b2＝__a2＋c2－2accos_B__； c2＝__a2＋b2－2abcos_C__ 符号 语言2 cos A＝　　；cos B＝　　； cos C＝　　 2．解三角形 (1)三角形的三个角和三条边叫作三角形的__元素__． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作__解三角形__． [基础自测] 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2＝(　　) A．32－16　　　　　 B．16 C．32＋16 D．48 解析　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋42－2×4×4×＝32－16. 答案　A 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝6，则cos B＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由余弦定理可得 cos B＝＝＝. 答案　D 3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，c＝＋1，则A＝________. 解析　由余弦定理得 cos A＝＝＝， 又0°<A<180°，所以A＝60°. 答案　60° 4．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________________. 解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c＝. 答案　 题型一　利用余弦定理解三角形(一题多变) 　(1)(2021·全国卷Ⅱ)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　 B．　　 C．　　 D．3 (2)在△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，求∠A，∠B，∠C． [解析]　(1)利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长． 设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 结合余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得19＝a2＋4－2×a×2×cos120°， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝3(a＝－5舍去)， 故BC＝3.故选D． [答案]　D (2)由于a∶b∶c＝1∶∶2， 可设a＝x，b＝x，c＝2x. 由余弦定理， 得cos A＝＝＝， 又A∈(0°，180°)，∴∠A＝30°. 同理cos B＝，cos C＝0， ∴∠B＝60°，∠C＝90°. [母题变式] 　(变条件)将本例(1)中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b为何值？ 解析　由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×， 即b2－6b＋8＝0， 解得b＝2或b＝4. [规律方法] 1．解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 2．解决“已知三角形的三边”解三角形的方法 先利用余弦定理的第二种形式求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的第二种形式求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [触类旁通] 1．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形． 解析　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B， 所以2＝3＋c2－2×c， 即c2－c＋1＝0， 解得c＝或c＝， 当c＝时，由余弦定理， 得cos A＝＝＝. 因为0°<A<180°，所以A＝60°，所以C＝75°. 当c＝时，由余弦定理，得 cos A＝＝＝－. 因为0°<A<180°， 所以A＝120°，C＝15°. 故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝， A＝120°，C＝15°. 题型二　三角形形状的判断 　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB· cos C，试判断△ABC的形状． [解析]　将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bcc