9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

第2课时　向量数量积的坐标表示 学业标准 素养目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积．(重点) 2．能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直．(难点) 1．通过推导向量数量积、夹角等的坐标表示，培养逻辑推理核心素养． 2．通过数量积的坐标运算及应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　向量数量积的坐标表示 　已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？ [提示]　a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. 　|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ [提示]　|a|＝＝；|b|＝＝. 　能用a，b的坐标表示a·b吗？ [提示]　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. ◎结论形成 1．平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的__乘积的和__． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__. 3．三个重要公式 (1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝　　. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝　　. (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝　　. [基础自测] 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝(　　) A．23　　 B．7　　 C．－23　　 D．－7 解析　由数量积的计算公式得，a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7. 答案　D 2．(多选)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，下列结论正确的是(　　) A．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 B．a·b<0⇔a与b的夹角为钝角 C．若a·b≠0，则a与b不垂直 D．||表示A，B两点之间的距离 解析　当a与b共线且反向时，a·b<0，故B不正确． 答案　ACD 3．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析　由题意得cos∠ABC＝ ＝＝， 又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°. 答案　A 4．(2021·北京卷)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________. 解析　根据坐标求出a＋b，再根据数量积的坐标运算直接计算即可． ∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)， ∴a＋b＝，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0， ∴a·b＝2×2＋1×(－1)＝3. 答案　0　3 题型一　向量数量积的坐标运算 　(1)已知a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8　　　　　　　 B．3＋ C．28 D．32 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝____________. [解析]　(1)a2－(a－b)·b ＝a2－a·b＋b2 ＝25－(－4＋6)＋5＝28.故选C． (2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5. [答案]　(1)C　(2)5 [规律方法] 数量积坐标运算的两个途径：一个是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [触类旁通] 1．(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2＋2＋…＋2的取值范围是________． 解析　以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A1(0,1)，A2，A3(1,0)，A4，A5(0，－1)，A6，A7(－1,0)，A8.设P(x，y)，于是2＋2＋…＋2＝8(x2＋y2)＋8， 因为cos 22.5°≤|OP|≤1，所以≤x2＋y2≤1，故2＋2＋…＋2的取值范围是[12＋2，16]． 答案　[12＋2，16] 题型二　向量模的坐标表示 　已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|. [解析]　设a＝(x，y)， 则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.① 由a⊥b，解得2x－3y＝0.② 联立①②，解得或. 所以a＝(6,4)或a＝(－6，－4)． 所以a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)， 所以|a＋b|＝. [