9.3.2 第1课时 向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

9．3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1．理解向量坐标表示的意义． 2．掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则并能熟练应用．(重点) 1．通过对向量的坐标表示的探究，培养数学抽象、直观想象核心素养． 2．通过向量的线性运算，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　向量的坐标表示 　如图，已知i，j分别是x，y轴上的单位向量，|a|＝r，∠AOx＝θ， (1)试用i，j表示a； (2)点A在坐标系中的坐标是什么？ [提示]　(1)a＝rcos θ·i＋rsin θ·j. (2)(rcos θ，rsin θ)． ◎结论形成 1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个__单位向量__i，j作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)称为向量a的坐标，记作　a＝(x，y)　. 2．在平面直角坐标中，i＝__(1,0)__，j＝__(0,1)__，0__(0,0)__． 导学2　向量线性运算的坐标表示 　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．试求a＋b，a－b,2a的坐标． [提示]　a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2) ＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j) ＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j ＝(x1＋x2，y1＋y2) 同理：a－b＝(x1－x2，y1－y2) 2a＝(2x1,2y1) ◎结论形成 1．向量线性运算的坐标表示 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么 (1)a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__； (2)a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__； (3)λa＝__(λx1，λy1)__． 2．平面内任一向量的坐标 一个向量的坐标等于该向量__终点__的坐标减去__起点__的坐标． [基础自测] 1．如果用i，j分别表示x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j　　　　　 B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 解析　记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j. 答案　C 2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是(　　) A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4,2) D．(4，－2) 解析　3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)． 答案　D 3．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是(　　) A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2) 解析　＝(2－3,3－1)＝(－1,2)． 答案　B 4．如图，向量a，b，c的坐标分别是__________，__________，____________. 解析　将向量所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)． 答案　(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) 题型一　平面向量的坐标表示 　已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°， (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． [解析]　(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)． (2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． [规律方法] 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标． [触类旁通] 1．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 解析　由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴， 因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j， 所以＝(4,3)． 因为＝＋＝－＋， 所以＝－4i＋3j，所以＝(－4,3)． 题型二　平面向量的坐标运算(一题多解) 　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12)　　　　 B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求点M，N的坐标． [解析]　(1)因为a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，