9.3.1 平面向量基本定理-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

9．3　向量基本定理及坐标表示 9．3.1　平面向量基本定理 学业标准 素养目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底、正交分解的含义．(难点) 2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量并会用平面向量基本定理解决相关问题．(重点) 1.通过学习平面向量基本定理及基底、正交分解的含义，培养数学抽象核心素养． 2．通过平面向量基本定理的应用，提升直观想象、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　平面向量基本定理 　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ [提示]　能．依据是数乘向量和平行四边形法则． 　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ [提示]　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． ◎结论形成 1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内两个__不共线的向量__ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使　a＝λ1e1＋λ2e2　 基底 不共线的向量e1，e2叫作表示这个平面的一组基底 2．正交分解 若向量e1，e2所在的直线互相垂直，称　a＝λ1e1＋λ2e2　为向量a的正交分解． [基础自测] 1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1　　　 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 解析　由基底定义知e1＋e2与e1－e2不共线，故选D． 答案　D 2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为(　　) A．e1＋e2 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 解析　a＝－2e1＋e2. 答案　B 3．如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　) A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) 解析　＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)． 答案　A 4．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy＝________. 解析　∵a∥b，∴a＝λb， 即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2， ∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6. 答案　6 题型一　对基底的理解 　(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 [解析]　根据平面向量基本定理，选项A正确；选项B不正确；若λ2＝μ2＝0时，λ的值可能不存在，故选项C不正确；选项D显然正确．故选B，C． [答案]　BC [规律方法] 两个向量是否能构成基，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来． [触类旁通] 1．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)． 解析　①设e1＋e2＝λe1，则无解， 所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底． ②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)， 则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底． ③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线， 即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底． ④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底． 答案　③ 题型二　用基底表示平面向量(一题多变) 　如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底a，b表示向量，. [解析]　＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝a－b.＝＋＋＝－＋＋＝b－a. [母题变式] 1．(变问法)本例条件不变，试用基底a，b表示. 解析　由平面几何知识BG＝BF， 故＝＋＝＋ ＝a＋＝a＋b－a＝a＋b. 2