9.2.3 向量的数量积-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

9．2.3　向量的数量积 学业标准 素养目标 1．理解平面向量数量积的定义．(重点) 2．理解投影向量的概念和向量数量积的几何意义．(难点) 3．掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用．(重点、难点) 1．通过力做功探究向量数量积的概念和几何意义，培养数学建模和数学抽象的核心素养． 2．通过向量数量积的运算，提升数学运算和逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　向量的数量积的定义 　 如图，在力F的作用下，木块在水平方向上移动了5 m，若F＝3 N. (1)则力F做的功是多少？ (2)力做功的大小与哪些量有关？ [提示]　(1)3×5×cos 30°＝(J)． (2)与力的大小、位移的大小及它们的夹角有关． ◎结论形成 1．数量积的定义 条件 两个非零向量a和b，它们的夹角为θ. 结论 数量　|a||b|cos θ　叫做向量a和b的数量积． 记法 a·b＝　|a||b|cos θ　. 规定 零向量与任一向量的数量积为__0__. 2．数量积的性质 (1)若两个非零向量a和b的夹角为θ，则cos θ＝. (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)． (3)a·a＝|a|2或|a|＝. 导学2　投影向量及数量积的几何意义 　在平面直角坐标系中 (1)过点A(1,1)，点B(3,2)向x轴引垂线，垂足分别为A1，B1，则向量在x轴方向上的投影向量是什么？ [提示]　向量. (2)过点C(－1,1)向x轴引垂线，垂足为C1，则向量在x轴上的投影向量是什么？ [提示]　向量. ◎结论形成 1．投影与投影向量 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.将由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b__投影__，向量称为向量a在向量b上的__投影向量__． 2．数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 导学3　数量积的运算律 　如图，|a|＝|b|＝6，θ＝120°，求比较a·b与b·a；(2a)·b与a·(2b)的大小． [提示]　a·b＝b·a＝18； (2a)·b＝a·(2b)＝36. ◎结论形成 　数量积的运算律 设向量a，b，c和实数λ，则： (1)a·b＝　b·a　； (2)(λa)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λb)　＝　λa·b　； (3)(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　. [基础自测] 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝(　　) A．12　　　　　 B．12 C．－12 D．－12 解析　m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×＝12. 答案　B 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A．　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析　由条件可知，cos θ＝＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 答案　C 3．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．不存在θ，使e1·e2＝ B．e＝e C．∀θ∈R，(e1－e2)⊥(e1＋e2) D．e1在e2方向上的投影向量为sin θe2 解析　对于A，因为e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ≤1，所以A正确；对于B，因为e＝e＝1，所以B正确；对于C，因为(e1－e2)·(e1＋e2)＝e－e＝0，所以(e1－e2)⊥(e1＋e2)，所以C正确；对于D，e1在e2方向上的投影向量为cos θe2，所以D错误． 答案　ABC 4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影向量是b，则a·b为____________． 解析　由向量的数量积的几何意义，得a·b＝b·b＝6. 答案　6 题型一　向量的数量积、投影向量 　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： ①a·b；②a2－b2；③(2a－b)·(a＋3b)． (2)如图所示，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求 ①·；②·；③·；④在上的投影向量． [解析]　(1)①a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3. ②a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. ③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (2)①因为∥，且方向相同， 所以与的夹角是0°， 所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，所以·＝||||cos 180°＝4×4×＝－16. ③因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6. ④因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与