9.2.2 向量的数乘-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

9．2.2　向量的数乘 学业标准 素养目标 1．掌握向量的数乘运算的定义，并理解其几何意义．(重点) 2．掌握数乘运算的运算律，并能进行向量的线性运算．(难点) 1．通过向量数乘的定义、几何意义的学习，主要培养直观想象核心素养． 2．通过向量的线性运算，主要提升数学运算核心素养. [教材梳理] 导学1　向量的数乘运算 　甲、乙、丙三人都从点M出发，甲向正南方向运动了5 km，乙向正南方向运动了15 km，丙向正北方向走了20 km，请问他们的位移是什么关系？ [提示]　甲、乙位移方向相同，乙的位移的大小是甲的3倍，甲、乙与丙的位移方向相反，丙的位移大小是甲的4倍，是乙的倍． ◎结论形成 1．向量的数乘定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个__向量__，记作　λa　，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝　|λ||a|　. (2)若a≠0，则当λ>0时，λa的方向与a的方向__相同__；当λ<0时，λa的方向与a的方向__相反__． 实数λ与向量a相乘的运算，叫作__向量的数乘__． 2．向量数乘λa的几何意义 当λ>0时，把向量a沿a的__相同__方向放大或缩小； 当λ<0时，把向量a沿a的__相反__方向放大或缩小． 3．向量数乘运算的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．向量的线性运算 向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算． 导学2　向量共线定理 　若a是非零向量，则λa与a有什么关系？如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa是否成立？ [提示]　λa与a是共线向量；如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa一定成立． ◎结论形成 　向量共线定理 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是__共线向量__；反之，如果b与a是共线向量，那么__有且只有一个实数λ__，使b＝λa. [基础自测] 1．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有(　　) A．a与b方向相同　　　　 B．a与b方向相反 C．|a|＝|3b| D．|a|＝|b| 解析　因为－3<0，所以a与－3a方向相反，且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B． 答案　B 2．(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n 解析　易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确． 答案　ABD 3．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a. 解析　由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|， 又两向量同向，故b＝2a. 答案　2 4．若＝3，则直线AB与直线CD的位置关系为____________． 解析　由题设知与为共线向量． 答案　重合或平行 题型一　向量的线性运算 　(1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． [解析]　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. ③原式＝＝ ＝a－b. (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j. [规律方法] 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． [触类旁通] 1．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 解析　由2－(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0.所以y＝a－b＋c. 答案　a－b＋c 题型二　用已知向量表示其他向量(一题多变) 　 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量． (1)＝________； (2)＝________. [解析]　因为∥，||＝2||， 所以＝2，＝. (1)＝＋＝e2＋e1. (2)＝＋＋＝－－