9.2.1 第1课时 向量的加法运算-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

9．2　向量运算 9．2.1　向量的加减法 第1课时　向量的加法运算 学业标准 素养目标 1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点) 2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点) 3．能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点) 1．结合物理模型从几何角度探究向量加法的三角形法则和平行四边形法则，提升直观想象和数学建模核心素养． 2．通过向量的加法运算和加法运算律的应用，主要培养数学运算核心素养. [教材梳理] 导学　向量的加法 　 某对象从A地经B地到C地，两次位移，的结果与从A地直接到C地的位移的关系如何？ [提示]　结果相同，即＋＝. 　实数的加法满足哪些运算律？向量加法是否也满足这些运算律？ [提示]　实数的加法满足交换律和结合律，向量加法也满足． ◎结论形成 1．向量加法的定义及运算法则 定义 求两个向量__和__的运算，叫作向量的加法 法则 三角形 法则 前提 已知向量a，b 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量 结论 向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝　＋　＝ 图形 法则 平行四 边形法 则 前提 已知两个不共线的非零向量a，b 做法 分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC 结论 以O为起点的对角线表示的向量就是向量　a与b的和　. 图形 互为相反 向量的和 任意一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 规定 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0　0a　＝　a　 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝　b＋a　 结合律 (a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　 [基础自测] 1．(多选) 下列各式一定成立的是(　　) A．a＋b＝b＋a　　　　 B．0a＝a C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| 解析　A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等． 答案　ABC 2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b＝(　　) A． B． C． D． 解析　＋＝. 答案　D 3．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________. 解析　由平行四边形法则可知＋＝. 答案　 4．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________. 解析　由向量加法的三角形法则，得＋＝，即a＋b＋c＝＋＋＝0. 答案　0 题型一　已知向量作和向量(一题多解) 　(1)如图甲所示，求作向量和a＋b； (2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. 甲　　　　　　　　乙 [解析]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b， ＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． [规律方法] 利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量． [触类旁通] 1．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 解析　(1)作＝a，＝b， 则＝a＋b，如图(1)． (2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)． (3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)． 题型二　向量的加法运算及运算律的应用 　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)： ①＋＝________； ②＋＝________； ③＋＋＝________. (2)化简 ①＋；②＋＋； ③＋＋＋＋. [解析]　(1)如题图，由已知得四边形BCFD为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： ①＋＝＋＝. ②＋＝＋＝. ③＋＋＝＋＋＝＋＝ [答案]　①　②　③ (2)①＋＝＋＝. ②＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋＝＋＝0. ③＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝0. [规律方法] 向量加法运动律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的，实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．