3.3 垂径定理（课件）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件（北师大版）

第三章 圆 北师大版九年级数学下册 崇德尚礼 笃学求真 3 垂径定理 学习&目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 情境&导入 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ 情境&导入 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 37.4m 7.2m 探索&交流 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O C D A B M O 连接OA，OB，则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合， 探索&交流 （2）① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 条件 ③AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 结论 解：（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线 C D A B M O 探索&交流 C D A B M O 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 特别提醒 1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可. 2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 探索&交流 ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 推导格式： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 探索&交流 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 探索&交流 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM，AC =BC，AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O C D M A B 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC. ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD， ⌒ ⌒ 从而∠AOD=∠BOD. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H， 且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 探索&交流 　想一想 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 探索&交流 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） · O A B C D E ⌒ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. ⌒ ⌒ 探索&交流 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 探索&交流 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长. · O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D