11.3.1 平行直线与异面直线-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

　空间中的平行关系 11．3.1　平行直线与异面直线 学业标准 素养目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间直线平行性的传递性．(重点) 2．理解异面直线的概念并会判断两直线是否异面．(重点、难点) 1.通过学习异面直线的定义，培养数学抽象核心素养． 2．通过判断两直线间的位置关系，培养逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学1 平行直线与等角定理 　过直线外一点可以作几条直线与已知直线平行？ [提示]　一条． 　如果直线a//b，b//c，那么a//c吗？ [提示]　平行． ◎结论形成 1．空间平行线的传递性： (1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)图形语言： (3)符号语言：如果a//b，a//c，那么b//c. 2．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 导学2 异面直线 　空间中两条直线有几种位置关系？ [提示]　可以说两种：共面与异面，也可以说三种：平行、相交和异面． 　什么样的两条直线是异面直线？ [提示]　空间中既不平行也不相交的两条直线． ◎结论形成 1．定义：不同时在任何一个平面内的两条直线． 2．画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托．如下图所示： 3．判定：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面. 导学3 空间四边形 1.概念：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 2．表示：用表示顶点的4个字母表示． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．(　　) (2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　) (3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．下列命题中，正确的结论有(　　) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1个　　 B．2个　　　 C．3个　　 D．4个 解析　②④正确． 答案　B 3．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为(　　) A．130° B．50° C．130°或50° D．不能确定 解析　根据等角定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补．即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°. 答案　C 4．(多选题)下面关于异面直线的描述不正确的为(　　) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 解析　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．所以A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除．对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除．只有D符合定义． 答案　ABC 　如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形． [证明]　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1， ∵E是AA1的中点，∴EQA1D1. 又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1， ∴EQB1C1， ∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q. 又∵Q，F分别是矩形DD1C1C的两边DD1和CC1的中点，∴QDC1F， ∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QDF. 又∵B1EC1Q，∴B1EDF， ∴四边形B1EDF为平行四边形． [规律方法] 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法． 三角形中位线、平行四边形的性质等． (2)定义法． 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点． (3)平行线的传递性． [触类旁通] 1．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH的形状为________． 解析　如图，在△ABD中， 因为＝＝， 所以EH∥BD且EH＝BD. 在△BCD中，因为＝＝， 所以FG∥BD且FG＝BD， 所以EH∥FG且EH>FG， 所以四边形EFGH为