11.2 平面的基本事实与推论-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

　平面的基本事实与推论 学业标准 素养目标 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．(重点、难点) 1.通过引导解决共线、共面问题，培养逻辑推理核心素养； 2．通过画或找立体图形中平面与平面的交线，培养直观想象核心素养； 3．利用判断点、线、面的位置关系判断命题的真假，培养数学建模核心素养. [教材梳理] 导学 平面的基本事实及推论 　若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？ [提示]　在桌面上． 　为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？ [提示]　撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上． 　两张纸面相交有几条直线？ [提示]　一条． ◎结论形成 1．平面的基本事实 基本事实 (公理) 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l. 2.平面基本事实的推论 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面．(图①) 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．(图②) 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．(图③) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间不同三点确定一个平面．(　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (3)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　　) (4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(多选题)如图所示，下列符号表示正确的是(　　) A．l∈α　　　　　　　　 B．P∉l C．l⊂α D．P∈α 解析　观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的． 答案　BCD 3．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是(　　) A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈α B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a C．因为A∈a，a⊂α，所以A∈α D．因为A∉a，a⊂α，所以A∉α 解析　对A，直线AB在平面α内，应为AB⊂α，故A错误； 对B，直线a在平面α内，应为a⊂α，故B错误； 对C，因为A∈a，a⊂α，所以A∈α，故C正确； 对D，A∉a，a⊂α，有可能A∈α，故D错误．故选C. 答案　C 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条． 解析　如图，由图可知，即与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条． 答案　5 　将下列符号语言转化成图形语言，并用文字语言加以叙述：α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β. [解析]　图形语言如图所示，文字语言是：点A在平面α与β的交线l上，且直线AB在平面α内，直线AC在平面β内，也可以叙述为：平面α内的直线AB与平面β内的直线AC相交于两平面的交线l上． [规律方法] 集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“⊂”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借助于集合符号，但在读法上仍用几何语言. [触类旁通] 1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表达正确的个数是(　　) ①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α； ③A∉a，a⊂α⇒A∉a；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 解析　①错，如图： ②a∈α符合不对；③错，如图： ④A⊂α符号书写不对． 答案　A 题型二　点、线共面问题 一题多变 　已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面． [证明]　(1)无三线共点的情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S. 则由a∩d＝M，故a，d可确定一个平面，设为α. 因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α. 所以NQ⊂α，即b⊂α.同理c⊂α. 所以a，b，c，d共面． (2)有三线共点的情况，如图所示