10.2.2 复数的乘法与除法-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

10.2.2　复数的乘法与除法 学业标准 素养目标 1.理解复数的乘、除运算法则，会进行复数的乘除运算．(重点) 2．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点) 3．会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 1. 通过学习复数的乘法和除法，培养数学运算核心素养． 2. 通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养数学抽象核心素养. [教材梳理] 导学1 复数的乘法运算 　复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？ [提示]　类似． 　复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 1．复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，规定z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 (1)对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (2)对复数z，z1，z2和正整数m，n有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz. (3)i为虚数单位，则i2＝－1，i3＝－i，i4＝1. 导学2 复数的除法运算 　如果实数a，b满足(a＋bi)(1＋i)＝1，如何求a，b? [提示]　方法一是展开，利用复数相等求a，b，方法二是化为a＋bi＝，将等号右边分母化成实数，利用复数相等求解． 　如何将的分母化成实数？ [提示]　分子分母同时乘以分母的共轭复数． ◎结论形成 1．复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．求复数的倒数的方法称为分母实数化． 2．复数相除：如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数． 导学3 实系数一元二次方程在复数范围内的解集 　如果x2＝－4，则x＝？ [提示]　±2i. 　如果x2＝－a(a>0)，则x＝？ [提示]　±i. ◎结论形成 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程， (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么x1＋x2＝－，x1x2＝. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数加减乘除的混合运算则是先乘除，再加减．(　　) (2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　) (3)＝－i.(　　) (4)＝－i.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3＋i　　　　　　　 B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 解析　(－1＋i)(2－i)＝(－2＋1)＋(2＋1)i＝－1＋3i. 答案　B 3．已知复数z＝2＋i，则z·＝(　　) A. B． C．3 D．5 解析　解法一　∵z＝2＋i， ∴＝2－i，∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 解法二　∴z＝2＋i，∴z·＝|z|2＝5.故选D. 答案　D 4．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 解析　z＝＝＝－1＋i. 答案　A 　计算：(1)(3＋2i)(1－i)；(2)(1＋2i)2. [解析]　(1)(3＋2i)(1－i)＝(3＋2)＋(－3＋2)i＝5－i； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i. [规律方法] (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简． (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如，平方差公式、完全平方公式等． [触类旁通] 1．(1)(2022·新高考全国卷Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i　　　　　 B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i，故选D. 答案　D (2)(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 解析　由题设，z＝1－2i，＝1＋2i，所以a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，故a＝1，b＝－2，选择A. 答案　A